Условия на выходной границе потока

Аппроксимация граничных условий детально рассматривалась в задаче теплопроводности.

Рис. 5.10. Пример выходной границы потока

Предполагаем, что аналогичная аппроксимация применима для задачи конвекции и диффузии. Однако на выходной границе потока, т.е. там где жидкость покидает расчетную область, обычно неизвестны ни значения Ф, ни ее поток. Например, для выходной границы (рис. 5.10) могут быть неизвестны значения температур или теплового потока. Как в этом случае можно решить задачу?

Ответ прост: на выходной границе потока нет необходимости, иметь информацию. Рассмотрим узловую точку, показанную на вставке рис. 5.10. Для всех узловых точек P, ближайших к выходной границе потока, коэффициенты a_E =0, если число Пекле достаточно велико.

Таким образом, все коэффициенты, умноженные на граничные значения, будут равны нулю, и, следовательно, нет необходимости в граничных значениях.

Другими словами в области вблизи выходной границы потока для больших чисел Пекле наблюдается локальное одностороннее поведение; поскольку точки на границе расположены вниз по потоку от расчетной области, то они не влияют на решение.

Рассмотренный выше вывод справедлив для очень больших чисел Пекле. Но при отсутствии информации о граничных условиях всегда можно предположить, что диффузионный коэффициент Г на внешней границе мал, т.е. оправдывается допущение о больших числах Пекле. К такому предположению, которое немного не соответствует действительности, необходимо прибегнуть, если надо получить осмысленные решения при отсутствии какой-либо информации о выходной границе потока.

Если диффузия на выходной границе потока по ряду причин оказывается важной, то следует сделать вывод, что граница располагалась неудачно.

Рис. 5.11 Выбор расположения выходной границы потока: 1 – удачный; 2 – неудачный

Границу без возмущений (спокойную) можно рассматривать как приемлемую внешнюю границу потока. Особенно плохим выбором расположения выходной границы потока будет тот, при котором на некоторой части границы есть вторичные токи. Пример этого показан на рис. 5.11. При таком неудачном выборе границы нельзя получить имеющее физический смысл решение.

На данном этапе целесообразно остановиться на способах задания ГУ для задач конвекции и диффузии. Всюду, где нет течения жидкости через границу расчетной области, поток на границе является чисто диффузионным потоком и, проблем при задании ГУ нет.

Для тех частей границы, где жидкость втекает в рассматриваемую область, обычно значения Ф известны (задача является некорректна поставленной, если неизвестна величина Ф, которую поток жидкости приносит с собой). Части границы, в пределах которых жидкость вытекает из расчетной области, образуют выходную границу потока, которая уже обсуждалась.

Схемная искусственная диффузия Общий взгляд на искусственную диффузию

Обычно встречаются следующие точки зрения:

1. центрально-разностная схема (CD), имеет второй порядок аппроксимации, в то время как схема с разностями против потока (UD) имеет только первый порядок аппроксимации

2. схема с разностями против потока вызывает появление сильной схемной искусственной диффузии.

Основной смысл этих, утверждений состоит в том, что центрально-разностная схема лучше, чем схема с разностями против потока.

Действительно, разложение в ряды Тейлора может показать, что центрально-разностная схема обеспечивает порядок аппроксимации (x)³, в то время как схема с разностями против потока - порядок (x)².

Однако поскольку изменение Ф от x, возникающее в задачах конвекции и диффузии, является экспоненциальным, то усеченные ряды Тейлора не могут хорошо аппроксимировать это изменение для любых значений x, кроме крайне малых (точнее соответствующих малым числам Пекле).

Для больших значений x, которые встречаются во многих практических задачах, анализ, основанный на разложении в ряды Тейлора, приводит к неправильным результатам и, схема с разностями против потока дает более реальные результаты, чем центрально-разностная.

Нет сомнения в том, что для очень малых чисел Пекле центрально-разностная схема является более точной, чем схема с разностями против потока. Т.к. схемы экспоненциальная, комбинированная и схема со степенным законом соответствуют центрально-разностной схеме при очень малых числах Пекле.

Вопрос об искусственной диффузии не является серьезным для малых чисел Пекле, поскольку реальный коэффициент диффузии является очень большой величиной. Для больших чисел Пекле вопрос об искусственной диффузии остается достаточно важным для всех других рассмотренных схем. По этой причине в дальнейшем будем рассматривать в основном большие числа Пекле и схемы с разностями против потока, однако полученные выводы будут применимы и к схемам экспоненциальной, комбинированной и со степенным законом.