Методика и результаты применения различных разностных схем

Прежде чем перейти от одномерной задачи к многомерной, рассмотрим значения Ф_P, полученные при использовании различных схем для заданных Ф_E и Ф_W. Без потери общности положим Ф_E =1 и Ф_W =0. Далее предположим, что отрезки (x)_e и (x)_w равны, при этом Ф_P будет функцией P=ux/Г. Зависимость Ф_P от P, полученная по различным схемам, показана на рис. 5.7 (результаты расчета по схеме со степенным законом и точному решению так близки, что изображены на рисунке одной кривой).

Рис. 5.7 Зависимость ФP от числа Пекле, полученная по различным схемам (см. таблицу 5.1)

Все схемы, за исключением центрально-разностной, дают результаты, которые можно назвать физически реальными, а центрально-разностная схема дает значения, которые лежат вне области [0, 1], определенной крайними значениями. Поскольку сеточное число Пекле определяет поведение численных схем, в принципе возможно для центрально-разностной схемы изменить сетку (т.е. использовать меньшие x), чтобы на ней получать разумные решения до тех пор, пока P является достаточно малым (менее 2).

В большинстве практических задач этот способ, однако, требует использования очень мелких сеток, которые обычно не применимы из экономических соображений. В любом случае мы можем не принимать такого ограничения до тех пор, пока будем рассматривать процедуры, которые позволят получить физически реальные решения даже на грубых сетках.

Дискретный аналог для многомерных задач

Запишем общее дифференциальное уравнение для нестационарной конвекции и диффузии

. (5.12)

Получение двухмерного дискретного аналога

Сначала найдем аппроксимацию двухмерного уравнения, затем ту же процедуру применим и к трехмерному случаю. Рассмотрим контрольный объем (рис. 5.8). Используя опыт, приобретенный при анализе одномерной задачи для получения суммарного теплового потока J_e, и предположив, что найденное выражение применимо ко всей грани КО площадью y*1, сможем сразу записать дискретный аналог для двухмерной задачи.

Рис 5.8 КО (заштрихованная область) для двухмерного случая

При рассмотрении одномерного случая было, показано, что aP=aE+aW только тогда, когда удовлетворено уравнение неразрывности. Таким образом, правило относительно суммы соседних коэффициентов (правило 4) может быть удовлетворено только тогда, когда в рассмотрение включено уравнение неразрывности. Уравнение (5.12) в двухмерной форме можно представить в виде ,

где J_x и J_y - суммарные (конвекция плюс диффузия) потоки, определенные следующим образом:

и ,

где u, v - компоненты скорости в направлениях осей x и y.

Когда заданные поля скорости и плотности удовлетворяют дискретному аналогу уравнения неразрывности – проблем нет. Однако когда заданные поля не удовлетворяют уравнению неразрывности, то разные способы записи приводят к разным решениям.

В каком случае можно встретиться с полями течения, которые не удовлетворяют уравнению неразрывности? Такая возможность появляется, поскольку часто поле течения не является действительно заданным, а рассчитывается итерационным методом точно так же, как и зависящий от T коэффициент теплопроводности в задаче теплопроводности.

Перед тем как достигается окончательная сходимость, приближенные поля течения на промежуточных итерациях могут не удовлетворять уравнению неразрывности. По этой причине необходимо специально заботиться о соблюдении правила 4.

Двухмерный дискретный аналог можно записать в следующем виде

, (5.13)

где ,   ,

,   ,

,

,   .

Здесь Ф_P⁰ н _P⁰ обозначают известные значения для времени t, а все другие величины (Ф_P, Ф_E, Ф_W, Ф_N, Ф_S и т.д.) представляют собой неизвестные величины для времени t+t. Массовые расходы F_e, F_w, F_n, и F_s определены уравнениями

,   ,   ,   (5.14)

Соответствующие проводимости представим в виде

,   ,

,   (5.15)

а числа Пекле

,   ,   ,   (5.16)

Функцию A(|P|) можно взять из таблицы 5.1 соответственно выбранной схеме.

Следует отметить, что даже на этой стадии физический смысл различных коэффициентов в (5.13) понятен. Коэффициенты в соседних точках a_E, a_W, a_N и a_S учитывают влияние конвекции и диффузии для четырех граней КО, которые зависят от массового расхода F и проводимости D. Член a_P⁰Ф_P⁰ характеризует известную величину Ф для КО (для времени t), отнесенную к шагу по времени. Оставшиеся члены, можно интерпретировать аналогичным образом.