Точное решение

Уравнение сохранения можно решить точно, если положить Г равным постоянной величине и учитывая F = const (u=const). Если рассматривается область 0≤x≤L с граничными условиями при x = 0 Ф = Ф₀ и при x = L Ф = Ф_L , то решение (5.1) можно представить в виде

или , (5.6)

где Р — сеточное число Пекле, определяемое следующим соотношением

.

Физический смысл Р – это отношение интенсивности конвекции к диффузии.

Смысл точного решения (5.6) будет более понятен, если рассмотреть рис. 5.3, на котором изображена зависимость Ф от x для различных чисел Пекле. В пределе при P=0 получаем задачу чистой диффузии (или теплопроводности), причем зависимость Ф от x является линейной. Когда поток направлен вдоль положительной оси x (т.е. для положительных значений Р), на значения Ф в рассматриваемой области, по-видимому, оказывает большее влияние ее значение вниз по потоку Ф₀. Для большого положительного значения Р значение Ф остается очень близким к значению Ф₀ вниз по потоку в большей части рассматриваемой области.

Рис. 5.3 Точное решение для совместной задачи конвекции и диффузии (одномерные задачи) при различных значениях числа P

Для отрицательных значений Р наблюдается обратная картина. Для больших отрицательных P значение Ф в большей части области практически равно Ф_L.

Для построения дискретного аналога рассмотрим рис. 5.3, обратив внимание на соответствующий профиль Ф от x между сеточными узлами.

1. Легко видеть, что предварительный анализ не дал результатов. Распределение Ф от x носит нелинейный характер, за исключением малых |P|.

2. Когда |P| велико, значение Ф при x=L/2 (грань контрольного объема) приблизительно равно значению Ф на границе вверх по потоку. Это и есть допущение, сделанное в схеме против потока, но здесь оно используется для всех значений |P|, а не только для больших.

3. Когда |P| принимает большие значения, производная dФ/dx при x=L/2 близка к нулю. Таким образом, диффузия практически отсутствует. В схеме с аппроксимацией против потока диффузионный член рассчитывается, исходя из линейного профиля Ф от x, т.е. предполагается несколько больший вклад диффузии при больших значениях |P|.

Если дискретный аналог получен непосредственно из точного решения, показанного на рис. 5.3, результирующая схема не должна иметь каких-либо дефектов.

Общая формулировка дискретного аналога

Чтобы получить дальнейшее представление об аппроксимации задач конвекции и диффузии и построить общие рамки, в которые можно было бы вписать различные схемы, рассмотренные до сих пор, необходимо исследовать некоторые общие свойства использованных коэффициентов.

Введем понятие суммарного потока J, который складывается из конвективного потока uФ и диффузионного потока -Г(дФ/дx). Таким образом

. (5.7)

Рис. 5.4 Суммарный поток J между двумя узловыми точками

Рассмотрим узловые точки i и i+1, разделенные расстоянием , как показано на рис. 5.4. Запишем суммарный поток J, проходящий через грань контрольного объема, расположенную между этими узловыми точками. Используя уравнение (5.7), получаем

, (5.8)

где P=u/Г - число Пекле. Значение Ф на грани КО представим как некоторое взвешенное среднее Ф_i и Ф_i+1, хотя градиент dФ/d(x/) умножается на Ф_i+1 ‑ Ф_i. Далее предположим, что

,

где  и  - безразмерные множители, зависящие от Р. Аналогичным образом J^* можно представить в виде

, (5.9)

где А и В - безразмерные коэффициенты, которые являются функциями числа Р (коэффициент А содержит величины в точке i+l, расположенной перед гранью КО, В - в точке i за гранью КО, что соответствует выбранному направлению координаты).

Свойства А и В. Два свойства коэффициентов A и B необходимо знать при изучении их зависимости от числа Р. Если Ф_i.=Ф_i+1, то диффузионный поток равен нулю. В этом случае J будет определяться только конвективным потоком uФ, а безразмерный тепловой поток

Комбинируя приведенные выше уравнения, получаем

B=A+P

Рис. 5.5 Зависимость A и B от P

Другим свойством A и B является их взаимная симметрия. Если изменить направление координатой оси на обратное, то P будет равно —P, а A и B поменяются своими ролями. Таким образом, функции A(P) и B(P) будут связаны соотношениями A(-P)=B(P) B(-P)=A(P) Графически эта связь показана на рис. 5.5

Таким образом, для всех значений P можно записать

A(P)=A(|P|)+[|-P, 0|] B(P)=A(|P|)+[|P, 0|] (5.10)

Рассмотрим теперь соотношение (5.9) для потока на гранях КО e и w и используем (5.10). Тогда получим общую форму дискретного аналога для задач конвекции и диффузии:

, (5.11)

где , , .

Перечисленные выше схемы теперь можно получать просто различным выбором функции A(|P|). Соответствующие выражения для A(|P|) приведены в таблице 5.1 и графически показаны на рис. 5.6. Степень соответствия каждой функции определяется путем непосредственного сравнения с точным распределением.

Таблица 5.1

Схема	Зависимость A(|P|)	Рис. 5.6 Зависимость A(|P|) для различных схем (см. таблицу 5.1)
1. С разностями против потока	1
2. Со степенным законом	[0, (1-0,1|P|)5]
3. Экспоненциальная (точная)	|P|/[exp(|P|)-1]
4. Комбинированная	[0, 5-0,5|P|]
5. Центрально-разностная	1-0,5|P|