Дискретный аналог

Ранее был рассмотрен способ аппроксимации члена Г(дФ/дx) при использовании кусочно-линейного профиля Ф. Для конвективного члена сначала кажется естественным такой же выбор профиля. В результате получим

и

Множитель 1/2 является следствием предположения о расположении гранен контрольного объема посередине между узловыми точками; любые другие интерполяционные множители могут появиться при другом расположении граней контрольного объема. В этом случае уравнение (5.2) можно записать в следующем виде:

,

где Г_e и Г_w принимает разные значения μ, λ и т.д.

Для того чтобы записать уравнение более компактно, введем два новых символа

и .

Обе эти величины имеют одинаковую размерность

и .

F показывает интенсивность конвекции (или течения); D — диффузионная проводимость. Следует заметить, что F может быть больше или меньше нуля в зависимости от направления течения жидкости, D всегда положительна.

С учетом этих новых обозначений дискретный аналог примет вид

, (5.3)

где , ,

Примечание:

1. Поскольку из условия непрерывности F_e=F_w, то получим a_P=a_E+a_W, u=const, (u)_w-u)_e=0. Отметим, что дискретный аналог обладает этим свойством только в том случае, если поле скоростей удовлетворяет требованиям непрерывности.

2. Полученный дискретный аналог представляет собой следствие использования кусочно-линейного профиля Ф. Эта форма известна так же как центрально-разностная схема (разложение в ряды Тейлора).

3. Рассмотрим пример: D_e=D_w=1, F_e=F_w=4. Если заданы Ф_E и Ф_W, то из полученного нами дискретного аналога можно получить Ф_P. Рассмотрим два набора значений:

   1. Ф_E = 200, Ф_W = 100 => Ф_P = 50

   2. Ф_E = 100, Ф_W = 200 => Ф_P = 250.

Поскольку на самом деле Ф_P не может лежать вне области значений 100…200, определенных соседними точками, то эти результаты совершенно нереальны.

4. Когда |F|>2D, в зависимости от того F больше или меньше нуля, можно получить отрицательные a_W или a_E. Это приведет к нарушению одного из основных правил и возможности неправильного результата.

5. Отрицательные коэффициенты могут также означать, что нарушается выполнение критерия Скарбороу. Таким образом, поточечное решение дискретного аналога может расходиться. Поэтому решение задач конвекции с помощью центрально-разностной схемы ограничено малыми числами Рейнольдса (отношением F/D).

6. При нулевой диффузии (Г=0) (μ = 0) схема приводит к значению а_P = 0. В этом случае уравнение (5.3) невозможно решить с помощью поточечного метода и многих других итерационных методов/

Существующие схемы решения

Поскольку приведенный выше предварительный анализ привел в результате к неприемлемому виду дискретного аналога, то необходимо найти лучшие подходы. Существует еще несколько схем решения, в том числе:

• Схема против потока

• Экспоненциальная схема

• Комбинированная схема

• Схема со степенным законом

Схема против потока

Известна также как схема с разностями против потока, схема с разностями против течения, метод донорных ячеек и т. д.

Слабым звеном предыдущего анализа является предположение, что значение переносимой величины на грани контрольного объема Ф_е, определяется как среднее между Ф_Е и Ф_Р. Схема против потока предлагает лучшую аппроксимацию. Запись диффузионного члена остается прежней, а значение Ф на грани контрольного объема равно значению в соседней узловой точке с подветренной стороны грани. Таким образом

Ф_е = Ф_Р, если F_e > 0 и Ф_е = Ф_Е, если F_e < 0

Ф_w = Ф_W, если F_w > 0 и Ф_w = Ф_Р, если F_w < 0 (5.4)

Соотношения (5.4) можно записать более компактно, если ввести новый оператор [|A, B|] определяющую большею из величин A и В. Тогда для схемы против потока

и

Окончательно, дискретный аналог:

, (5.5)

где , ,

.

Примечание:

1. Из уравнения (5.5) видно, что отрицательные значения коэффициентов в этом случае не появляются. Таким образом, решения всегда будут физически реальными и критерий Скарбороу будет удовлетворяться.

2. Физический смысл схемы против потока: можно представить как серию отдельных баков с перемешивающейся внутри них жидкостью, которые соединяются с помощью трубок (рис. 5.2). Течение через трубки – конвекция, теплопроводность через стенки баков – диффузия. Т.к. жидкость перемешивается в баках, каждый бак имеет однородное температурное поле. Таким образом, жидкость ничего не должна знать о баке, к которому она течет, но должна нести полную информацию о баке, из которого она вытекает. Это является сутью схемы против потока.

Рис. 5.2 Модель «бак-труба» - аналог схемы против потока.