Функционалдық қатарлар
Функционалдық қатарлардың жинақталу облысы.
Мүшелері
сандар емес,
-тен
тәуелді функция болып келетін қатар
қарастырамыз:
.
(1)
Осындай қатарлар функционалдық қатарлар деп аталады.
Мысалы,
қатары функционалдық.
Егер
(1) қатарға
-ке
қандай да бір
,
функцияның анықталу облысынан
мәнін берсе, онда сандық қатар аламыз:
.
(2)
Бұл қатар жинақты да немесе жинақсыз да болуы мүмкін. Егер қатар жинақты болса, онда нүктесі (1) функционалдық қатардың жинақталу нүктесі деп аталады. Егер (2) қатар жинақсыз болса, онда нүктесі функционалдық қатардың жинақсыз нүктесі деп аталады. функциясының анықталу облысынан алған кейбір нүктесі үшін (1) қатар жинақты, ал кейбір нүктесі үшін жинақсыз болуы да мүмкін.
Анықтама. Функционалдық қатардың барлық жинақталу нүктелерінің жиынтығы функционалдық қатардың жинақталу облысы деп аталады.
Функционалдық
қатардың (1) дербес қосындысы, яғни
мүшелерінің алғашқы
қосындысы
,
айнымалысынан
тәуелді функциялар болып табылады.
,
кез келген
нүктесі үшін осы облыста
дербес қосындысының шегі бар екендігі
функционалдық қатардың жинақталу
облысының анықтамасынан шығады. Жинақталу
облысында жатпайтын нүктелер үшін
дербес қосындысының шегі табылмайды.
Функционалдық қатардың (1)
қосындысы
-тан
тәуелді функция.
Бұл
жағдайда:
деп жазамыз.
Егер
(1) функционалдық қатар жинақталатын
болса және
қосындысы
бар болса, онда
айырымы, сандық қатардағы сияқты,
-ші
ретті қалдығы деп аталады. Бұл қалдықты
деп белгілейміз:
.
Бұдан
екендігі
шығады.
Мысал.
қатары
болғандықтан,
аралығында жинақталады.
үшін берілген қатар жинақсыз.
Функционалдық қатардың бірқалыпты жинақтылығы.
Функционалдық
. (1)
қатары берілген және бұл қатардың
(2)
дербес қосындысы құрылған.
(1)
қатар М жиынындағы
-тің
барлық мәндерінде
функциясына жинақталады деп жорылық.
Бұл жағдайда
теңдігі
орындалады. Басқаша айтқанда: берілген
кез келген
саны үшін бір
нөмірі табылып, кейбір тағайындалған
мән
,
барлық
үшін
(3)
немесе
(3*)
болады.
Функционалдық (1) қатардың (3) теңсіздікпен өрнектелген жинақталуының анықтамасындағы нөмірін таңдап алу мына екі жағдайда болуы мүмкін: а) нөмірін таңдап алу тек берілген санына ғана тәуелді болады; ә) нөмір -ді таңдап алу әрі берілген санына, әрі тәуелсіз айнымалы -тің мәніне тәуелді болады. Сонда а) жағдайында (1) қатардың жинақталуы бір қалыпты, ал б) жағдайында – бір қалыпты емес (бір қалыпсыз) деп айтылады.
Сөйтіп, функционалдық қатардың жинақталуы екі категорияға бөлінеді: бір қалыпты және бір қалыпсыз. Енді бір қалыпты жинақталудың мынадай бір анықтамасын келтірелік.
Анықтама.
кесіндісінде функционалдық қатар
бірқалыпты жинақталады, егер кез келген
саны үшін
-тен
тәуелді емес
натурал
саны табылатын болса және
болғанда
теңсіздігі кез келген
кесіндіде анықталған
үшін орындалады.
Теорема (Вейерштрасс белгісі).
Егер
(1) функционалдық қатардың мүшесі
кесіндісінде
,
(3) шартын қанағаттандырса, мұндағы
-жинақталатын
теріс емес қатардың мүшелері
,
(4)
онда (1) қатар кесіндісінде біралыпты және абсолютті жинақталады.
Мысал.
қатары
және
қатары жинақты болғандықтан
кесіндісінде жинақталады.
Мысал.
Функционалдық
қатарының жинақталу облысын табу керек.
Шешуі:
Қатардың жалпы мүшесі
.
Енді айнымалы -тің қабылдауы мүмкін мәндерін қарастыралық:
а)
.
Бұл жағдайда қатардың жалпы мүшесі
болады. Бұлай болу (1) қатар
болғанда жинақталмайды деген сөз.
ә)
. Кез келген натурал
саны үшін
теңсіздігін жазуға еріктіміз. Бұл
теңсіздіктің оң жағынан
қатарын құрсақ, ол еселігі
болатын
геометриялық прогрессия мүшелерінің
қосындысы болып шығады (мұнда:
,
өйткені
).
Демек,
мәндерінде қатар да жинақталады.
б)
.
Бұл жағдайда:
.
Демек, болғанда қатар жинақталмайды.
Сонымен
берілген қатар
мәндерінде жинақталады да, ал барлық
мәндерінде жинақталмайтын болып шықты.
Сабақтың мазмұны.
Студенттердің өзіндік жұмысы.
Мына қатарлардың жинақталу облыстарын анықтаңыздар:
1.
Жауап.
Жинақталу облысы
интервалы.
2.
Жауап.
Жинақталу облысы
интервалы.
3.
Жауап.
Жинақталу облысы
сегменті.
4.
Жауап.
Жинақталу облысы жалғыз
нүктесінен тұрады.
- оқытушы бірігіп жасайтын жұмыс.
Оқытушы мен студенттердің әрқайсысына тақырып бойынша сұрақ қоя отырып, олардың өзіндік жұмыстарын тексереді. Өзіндік жұмыстың нәтижелерін талқылап, студенттердің біліктілігіндегі кемшіліктерді анықтайды, оларды жоюға көмектеседі. қорытынды білім деңгейін тексеру.
Студенттердің өз бетінше дайындалуға арналған сұрақтарға жауаптары мен қатарларды жинақтылыққа зерттеуге шығарылған есептердің нәтижелері бойынша сабақты талдау және қорытындылау.
Негізгі әдебиеттер.
Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы. Т.2. Алматы
Қасымов Қ.А., Қасымов Е.А. Жоғары математика курсы (Математикалық анализ). Т.2. Алматы, ҚазҰУ, 2002 ж.
Саханов Н., Жаңбырбаев Б. Жоғары математика. Алматы, Қайнар 1993 ж.
Шипачев В.С. «Основы высшей математики».Москва «Высшая школа» 1989ж.
Баврин. И.И. Курс высшей математики, М. «Просвещение» 1992.
Қосымша әдебиеттер.
1. А.Г.Мордкович, А.С.Солодовников. «Математический анализ». Москва. «Вербум-М». 2000г.
2. В.А.Кудрявцев, Б.П.Демидович «Краткий курс высшей математики». Москва «Наука» 1989г.
Тақырыбы: Дәрежелік қатарлар
Жұмыстың қажеттілігі (оқытудың мотивациясы):
Қатарлар – математиканың түрлі салаларының теориялық зерттеулері мен практикалық есептеулерінде қолданылатын ең негізгі математикалық құралдардың бірі болып табылады.
Сабақтың мақсаты:
Дәрежелік қатарлар, қатарлардың жинақтылығы және жинақталу интервалы, дәрежелік қатардың жинақталу радиусы туралы ұғымдарды енгізу.
студент білуі тиіс:
дәрежелік қатарлар
дәрежелік қатардың жинақталу аралығы
дәрежелік қатардың жинақталу радиусы
Абель теоремасы
студент игеруі тиіс:
дәрежелік қатардың жинақталу аралығын таба білу
дәрежелік қатардың жинақталу радиусын табу
дәрежелік қатарды жинақтылыққа зерттеу
Сабаққа дайындалуға арналған сұрақтар:
- базистік білім бойынша
Сандық тізбек. Сандық тізбектің шегі. Функцияның шегі . Сандық қатар.
- сабақ тақырыбы бойынша:
1) Дәрежелік қатар дегеніміз не?
2) Дәрежелік қатардың жинақталу облысы деп нені айтамыз?
3) Қатардың жинақталу аралығы дегеніміз не?
4) Абель теоремасы
Ақпаратты – дидактикалық блок.
Тақырып бойынша қысқаша теория: Негізгі ұғымдар, жинақталу облысы,жинақталу аралығы, жинақталу радиусы.