Қос интегралдың кейбір геометриялық және физикалық қолданылулары.
1. Көлемді
есептеу. Жоғарыдан
>0
бетімен, төменнен
жазықтығымен және екі жағынан құраушысы
Oz осіне
параллель, ал бағыттаушысы G
осінің контуры болып табылатын цилиндрлік
бетпен шектелген қисық сызықты цилиндрдің
көлемі көлемі V
мынаған тең
,
яғни, қос интеграл көмегімен денелердің көлемін есептеуге болады.
5
-мысал.
және
беттерімен шектелген дененің көлемін
есептеңіз (3-сурет).
Шешуі:
,
мұндағы G
–
түзулерімен шектелген интегралдаудың
үшбұрышты облысы.
Қос интегралдағы интегралдау шектерін ауыстырып, мынаны аламыз
.
куб. бірлік.
2. Аудандарды есептеу. G облысының S ауданы қос интегралдың көмегімен
формуласы бойынша есептеледі.
Бұл формула анықталған интеграл арқылы қисық сызықты трапецияның ауданын өрнектейтін сәйкес формулаға қарағанда ыңғайлы екенін ескере кетейік. Өйткені, берілген формула тек қана қисық сызықты трапецияларға ғана емес, координата осьтеріне қарағанда кездейсоқ орналасқан фигураларға да қолданымды.
6-мысал.
қисықтарымен шектелген G
облысының ауданын есептеңіз
(4-сурет).
Шешуі:
G облысы
сол жағынан
параболасымен, оң жағынан
түзуімен шектелген фигура болып табылады.
Парабола мен түзудің теңдеулерін бірге
шешіп, олардың қиылысу нүктелерін
табамыз:
.
Осылайша, ізделінді облыстың
ауданы
,
кв. бірлік
7-мысал.
қисықтарымен шектелген G
облысының ауданын есептеңіз.
Шешуі: Берілген қисықтардың қиылысу нүктелерін анықтаймыз (5-сурет).
Қ
иылысу
нүктесінде ординаталар тең, яғни
,
осыдан
.
Екі қиылысу нүктесін аламыз:
.
Осыдан, ізделінді аудан
,
кв. бірлік
Сабақ мазмұны:
- өзіндік жұмыс.
Тік бұрышты және қисық сызықты облыстарда қос интегралды есептеу. Жазық фигуралардың ауданы мен геометриялық денелердің көлемін табу.
I. Жақшалардағы шарттар арқылы берілген интегралдаудың тік бұрышты G облыстары бойынша алынған қос интегралды есептеңіз.
1)
(Ж: 1)
2)
(Ж:
)
3)
(Ж:
)
4)
(Ж:
4)
5)
(Ж:
)
II. Интегралдаудың қисық сызықты G облыстары бойынша алынған қос интегралды есептеңіз.
1)
;
(Ж:
).
2)
;
(Ж:
9).
3)
;
(Ж:
)
4)
,
G
– шеңбер
;
(Ж:
0)
5)
,
G
– х=2,
у=х
түзулері
және
ху=1
гиперболасымен шектелген облыс;
(Ж:
).
III. Есептеңіз:
1)
параболасы және у=х
түзуімен
шектелген фигураның ауданын.
(Ж:
).
2)
қисықтарымен шектелген фигураның
ауданын.
(Ж:
).
3) x=1, y=1, x+y=z, z=0 беттерімен шектелген дененің көлемін.
- оқытушымен жасалған жұмыс.
Оқытушы әрбір студентті тақырып бойынша сұрай отырып, өзіндк жұмысты тексереді. Өзіндік жұмыстың нәтижелерін қорытындылап, негізгі қателерге тоқталады. Тақырып бойынша түсініксіз жерлерді ашып көрсетеді.
Білімнің бастапқы және қорытынды деңгейін бақылау.
Тақырыптың сауалнама жауаптары, карточкалар немесе өзіндік жұмыс нұсқалары бойынша практикалық білімнің талдануы және қорытындысы.
Әдебиет
Негізгі:
В.С. Шипачев. Курс высшей математики. 2-е издание, Москва, 2004г. – 600 с.
И.И. Баврин, В.Л. Матросов. Высшая математика. М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2002г. – 400 с.
Под ред. Б.П. Демидовича. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. М.: ООО «Изд.-во АСТ», 2003 – 495 с.
Қосымша:
Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление исчисления. Москва, Наука, 1968г. – 310 с.
Тақырыбы: Функционалдық қатарлар
Жұмыстың қажеттілігі (оқытудың мотивациясы):
Қатарлар – математиканың түрлі салаларының теориялық зерттеулері мен практикалық есептеулерінде қолданылатын ең негізгі математикалық құралдардың бірі болып табылады.
Сабақтың мақсаты:
Функционалдық қатарлар, қатарлардың жинақтылығы және жинақталу нүктесі, функционалдық қатарлардың жинақталу облысы туралы ұғымдарды енгізу.
студент білуі тиіс:
функционалдық қатарлар
функционалдық қатардың жинақталу облысы
функционалдық қатардың бір қалыпты жинақтылығы
Вейерштрасс теоремасы
студент игеруі тиіс:
қатардың жинақталу облысын таба білу
қатарды жинақтылыққа зерттеу
Сабаққа дайындалуға арналған сұрақтар:
- базистік білім бойынша
Сандық тізбек. Сандық тізбектің шегі. Функцияның шегі . Сандық қатар.
- сабақ тақырыбы бойынша:
1) Функционалдық қатар дегеніміз не?
2) Қатардың жинақталу облысы дегеніміз не?
3) Вейерштрасс теоремасы
Ақпаратты – дидактикалық блок.