Тақырыбы: Көп айнымалы функция

Қажеттiлiгi (мотивация):

Бiр айнымалыдан тұратын функцияларды оқып-үйрену жазықтықтағы нүктелер арасындағы заңдылықтарды зерттеуге мүмкiндiк беретiн болса, көп айнымалы функциялар кеңiстiктегi нүктелер жиыны арасындағы ереженi, белгiлi бiр заңдылықтарды оқып үйренуге мүмкiндiк бередi.

Табиғаттағы әртүрлi күрделi құбылыстарды дифференциалдық теңдеулер арқылы өрнектеу мүмкiншiлiгiн арттыру үшiн де көп айнымалылар функциясы ұғымын, оған қатысты дербес туындылар мен толық дифференциалдарды оқып үйренудiң маңызы зор.

Сабақтың мақсаты:

Көп айнымалылар функциясы ұғымын енгiзу. Дербес туынды, дербес және толық дифференциалдардың анықтамасын беру. Оларды табу тәсiлдерi. Функцияның жуық мәнiн толық дифференциалды қолданып есептеуге арналған формуланы келтiру.

Студент бiлуi тиiс:

1. Екi айнымалылар функциясының анықтамасы.

2. Екi айнымалыллар функциясының дербес туындысының анықтамасы.

3. Екi айнымалылар функциясының толық диференциалы.

4. Екі айнымалы функцияның экстремумдары

5. Тұйық аймақта функцияның ең үлкен және ең кiшi мәндерi.

Студент игеруi тиiс:

1. Дербес туындыларды табу.

2. Дербес дифференциалдарды табу.

3. Толық дифференциалды табу.

4. Екі айнымалы функцияның экстремумдарын табу.

5. Тұйық аймақта функцияның ең үлкен және ең кiшi мәндерiн табу.

Өз бетiнше дайындалуға арналған сұрақтар.

а) базистiк бiлiм бойынша:

Дифференциалдау ережесi, туындылар кестесi, күрделi функцияның туындысы. Жоғары реттi туындылар. Бiр айнымалы функцияның экстремумы, оның бар болу шарты.

б) сабақ тақырыбы бойынша:

1. Екi айнымалы функциясының анықтамасын айтыңыз.

2. функциясының дербес өсiмшелерiн, сәйкес дербес туындыларын жазыңыз.

3. функциясының дербес дифференциалдарын жазыңыз.

4. Толық дифференциалдың формуласын жазыңыз.

5. Екі айнымалы функцияның экстремумдарын қалай табамыз?

6. Тұйық аймақта функцияның ең үлкен және ең кiшi мәндерi қалай табылады?

Ақпаратты-дидактикалық блок.

Тақырып бойынша қысқаша теория: көп айнымалы функцияның анықтамасы; шегi; үздiксiздiк; дифференциалдау; екi айнымалы функцияның экстремумы; екi, үш айнымалы функциялардың графиктерi.

Қысқаша теория

Көп айнымалылар функциясы туралы ұғым

АНЫҚТАМА. Айталық, Х, У, Z қандай да бiр сандар жиындары берiлсiн. Егер хХ, уУ айнымалы шамаларының мәнi бола алатын әрбiр (х, у) сандар жұбына белгiлi бiр заң бойынша zZ айнымалы шамасының бiрғана мәнi сәйкес келсе, онда z айнымалы шамасы х және у екi айнымалы шамалардың функциясы деп аталады да түрiнде жазылады.

Z санын f функциясының (х, у) нүктесiндегi мәнi деп те атайды. Z айнымалысын тәуелдi айнымалы, х және у айнымалыларын тәуелсiз айнымалылар немесе аргументтер деп атайды; жиыны- функцияның анықталу облысы, ал Z жиыны-функцияның мүмкiн мәндер жиыны деп аталады.

ХОУ тiкбұрышты координаталар жүйесiнде әрбiр (х, у) сандар жұбына бiр ғана М нүктесi сәйкес келетiн болғандықтан, екi айнымалылар функциясын М нүктесiнiң функциясы ретiнде қарастыруға болады және орнына жазады. Бұл жағдайда функцияның анықталу облысы жазықтықтың қандай да бiр нүктелер жиыны болып табылады.

Мысал 1. - екi айнымалының функциясының анықталу облысын табу керек.

Шешуi. Берiлген функция , яғни болғанда анықталады. Бұл теңсiздiктi радиусы R=3, центрi координаталар бас нүктесi болатын дөңгелектiң iшiнде және шекарасында жатқан барлық нүктелердiң координаталары қанағаттандырады. Сондайақ, дөңгелектiң өзi де функцияның анықталу облысы болып табылады.

Жоғарыда келтiрiлген анықтамаға ұқсас үш айнымалылар, төрт айнымалылар және сол сияқты, жалпы алғанда n айнымалылар функцияларының анықтамасын беруге болады.

Екi айнымалылар функциясының шегi және үзiлiссiздiгi

Айталық, функциясы қандай да бiр жиынында анықталған болсын және нүктесiнiң кез келген аймағында жиынының ең болмағанда бiр нүктесi бар болсын.

1-АНЫҚТАМА: Егер функциясы М₀ нүктесiнiң аймағында анықталған және үшiн , болғанда қатынасы орындалатын болса, онда А саны функциясының М₀ нүктесiндегi шегi деп аталады және ол мына түрде жазылады: немесе .

2-АНЫҚТАМА: Егер немесе болса, онда функциясы М₀ нүктесiнде үзiлiссiз деп аталады.

Дербес туындылар

Айталық функциясы нүктесiнiң қайсыбiр аймағында анықталған болсын. М нуктесiнде х айнымалысына х өсiмшесiн берейiк, ал у айнымалысының мәнi өзгерусiз қалсын. Онда функцияның сәйкес өсiмшесi функцияның нүктесiндегi х айнымалысы бойынша дербес өсiмшесi деп аталады.

Сол сияқты функцияның у айнымалысы бойынша дербес өсiмшесi анықталады: .

АНЫҚТАМА: Егер шегi бар болса, онда ол функциясының М нүктесiндегi х айнымалысы бойынша (у айнымалысы бойынша) алынған дербес туындысы деп аталады және символдарының бiрiмен белгiленедi.

Дербес және толық дифференциалдар

Дербес дифференциалдар.

АНЫҚТАМА: функциясының дербес өсiмшесiнiң х-қа қатысты (у-ке қатысты) пропорционал бас бөлiгi осы функцияның х айнымалысы (у айнымалысы) бойынша дербес дифференциалы деп аталады.

х және у айнымалы шамаларының дифференциалдары олардың өсiмшелерiне тең, яғни .

Дербес дифференциалдарды былай белгiлеймiз:

х бойынша дербес дифференциал,

у бойынша дербес дифференциал және

Сонымен екi айнымалы функцияның дербес дифференциалы осы функцияның сәйкес дербес туындысы мен айнымалысының дифференциалының көбейтiндiсiне тең.

Толық өсiмше және толық дифференциал.

функциясының екi аргументiнiң де өзгеруi бойынша алынған өсiмшесi толық өсiмше деп аталады.

АНЫҚТАМА: функциясының толық өсiмшесiнiң айнымалылардың өсiмшелерiне қарасты сызықты бас бөлiгi функцияның толық дифференциалы деп аталады.

Теорема. Екi айнымалы функцияның толық дифференциалы оның дербес дифференциалдарының қосындысына тең.

немесе .

Ал және болғандықтан .

Мысал 2. функциясының толық дифференциалын табу керек.

Функцияның дербес дифференциалын х бойынша табамыз:

.

Сол сияқты .

Бұдан .