3.4. Сложная учетная ставка

В практике учетных операций применяют сложную учетную ставку в тех случаях, когда процесс дисконтирования происходит с замедлением. В этом случае каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени, Поэтому сумма, выдаваемая банком при учете векселя, рассчитывается по формуле:

P = S (1 – d_сл)ⁿ, (3.7)

где d_сл – сложная учетная ставка.

Пример 3.8. Долговое обязательство на сумму 5 млн. руб., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной учетной ставке 15% годовых. Каков размер полученной за долг суммы и величина дисконта?

Решение.

P = S (1 – d_сл)ⁿ = 5 (1 – 0,15)⁵ = 2,2185 млн. руб.

D = S – P = 5 – 2,2185 = 2,7815 млн. руб. 

Номинальная и эффективная учетные ставки. Если дисконтирование производится не один, а m раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке f/m, то это номинальная годовая учетная ставка.

P = S , (3.8)

где f – номинальная годовая учетная ставка.

Эффективная учетная ставка d_э характеризует результат дисконтирования за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей:

(1 – d_э)ⁿ = ,

откуда d_э = 1 – и f = m . (3.9)

Для одних и тех же условий финансовой операции d_э  f.

Пример 3.9. Вексель на сумму 20000 тыс. руб., срок платежа по которому наступает через 1,8 года, учтен по сложной учетной ставке 18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, при ежемесячном дисконтировании.

Решение.

P = S = 20000 = 14429,54 руб. 

Наращение по сложной учетной ставке. Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки. Из формул (3.7) и (3.8) следует:

; . (3.10)

Непрерывные проценты.

Начисление процентов на первоначальный капитал, или дисконтирование нара­щенных сумм, может производиться так часто, что этот процесс можно рассматри­вать как непрерывный. В этом случае используются непрерывные проценты. Суть непрерывных процентов заключается в том, что количество периодов наращения или дисконтирования стремится к бесконечности, а временной интервал между периода­ми - к нулю.

Непрерывные проценты используются при обосновании и выборе инвестиционных проектов, при количественном финансово-экономическом анализе сложных хозяйст­венных процессов.

Непрерывное наращение процентов производится с помощью особого вида про­центной ставки, именуемой силой роста. Сила роста есть относительный прирост на­ращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени, т.е.

Сила роста может быть постоянной или переменной

Постоянная сила роста.

Как было показано выше, при дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как

Чем больше m, тем меньше промежуток между моментами начисления процентов, в пределе при имеем

Если ставку непрерывных процентов (силу роста) обозначить через , то величину наращенной суммы запишем в следующем виде:

(24)

Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при . Дисконтирование (математическое) на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

(25)