3.2. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки
Номинальная ставка. Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а например, месяц, квартал или другой период. В этом случае говорят, что проценты начисляются m раз в году. В контрактах обычно фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, которая в этом случае называется номинальной. Сложная процентная ставка наращения является частным случаем номинальной при начислении процентов один раз в году. Если номинальную ставку обозначить через j, то проценты за один период начисляются по ставке j/m, а количество начислений равно mn. Наращенная сумма при использовании номинальной процентной ставки наращения определяется по формуле:
S
= P
.
(3.4)
Пример 3.4. Какой величины достигнет долг, равный 25000 руб. через 5,7 года при росте по сложной ставке под 16,5% годовых при начислении процентов раз в году и помесячно?
Решение.
1) S
=
= 59703,22 руб.
2) S
= 25000
=
63622,59 руб.
Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.
Пример 3.5. Какова сумма долга через 25 мес. если первоначальная сумма 500 тыс. руб., проценты сложные, ставка 20%, начисление поквартальное. Определить 2-мя способами – общим и смешанным.
Решение. 25 мес. = 2 года и 1 мес.(30 дней).
1) S
=
=
750,840 тыс. руб.
2) S
=
= 741,806 тыс. руб.
Эффективная ставка (действительная). Эта ставка измеряет тот реальный доход вкладчика, который получают в целом за год от начисления процентов. Т.е. это годовая ставка сложных процентов, дающая тот же результат, что и m – разовое начисление процентов по ставке j/m. Поэтому множители наращения эффективной и номинальной ставок должны быть равны друг другу:
(1+rэ)n = .
Решив это уравнение относительно rэ и j, получим:
rэ
=
–
1; j
= m
.
(3.5)
Из формулы (3.5) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.
Замена в договоре номинальной ставки j при m – разовом начислении процентов на эффективную ставку rэ не изменит финансовых обязательств участников сторон, т.е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.
Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.
Пример 3.6. Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка 25%, начисление процентов помесячно?
Решение.
rэ
=
– 1 = 0,28
(28%).
Т.е. данные обязательства будут эквивалентны (28% годовых или 25% помесячно).
3.3. Дисконтирование по сложной ставке
Определение дисконтирования по сложной ставке то же, что и по простой. Используя (3.1) и (3.4), получим формулы дисконтирования сложных процентов:
;
.
(3.6)
Множители
и
называются дисконтными множителями.
Разность D = S – P называется дисконтом с суммы S.
Пример 3.7. Сумма 24000 руб. выплачивается через 1,4 года. Номинальная ставка – 25% годовых. Определить современную стоимость при ежеквартальном начислении процентов?
Решение.
руб.