8.4. Изменение параметров рент

Изменение хотя бы одного условия ренты по существу означает замену одной ренты другой. Такая замена также базируется на принципе финансовой эквивалентности. Следует учесть, что подразумевается равенство современных стоимостей этих рент при условии одинаковой процентной ставки. Рассмотрим несколько случаев такой замены.

Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется немедленная рента постнумерандо с параметрами R₁, n₁ и процентной ставкой r. Для нее необходимо отсрочить выплаты на t лет, т.е. заменить на отсроченную ренту с параметрами R₂, n₂, t (t не входит в срок ренты). Если задан срок, то определяется R₂, и наоборот. Рассмотрим первую задачу при условии, что n₂ = n₁ = n. Для этого случая справедливо равенство:

.

Откуда

. (8.10)

Иначе говоря, член новой ренты равен наращенному за время t члену заменяемой ренты.

В общем случае, когда n₂  n₁, из равенства A₁ = A₂ следует:

, (8.11)

где t – продолжительность отсрочки.

Пример 8.5. По контракту есть договоренность осуществить платежи ежегодно по 2 млн. руб. в течение 8 лет. Изменились условия: рента откладывается на 2 года без изменения срока самой ренты, процентная ставка для пролонгирования 20% годовых. Определить новый платеж с учетом отсрочки.

Решение. Согласно формуле (8.10) получим:

млн. руб.

Таким образом, отказ от платежа в 2 млн. руб. увеличивает ежегодные выплаты на 0,88 млн. руб. Если же одновременно со сдвигом начала выплат срок ренты увеличивается, например, до 11 лет вместо 8 (n₂ = 11), то по формуле (8.11) находим:

Определим теперь срок новой ренты при условии, что размер члена ренты остается без изменений. Пусть выплата ренты откладывается на t лет. Тогда из равенства

,

находим

. (8.12)

Пример 8.6. Рента c условиями R = 2 млн. руб., n = 5 лет, r = = 8% откладывается на 3 года без изменения сумм выплат. Необходимо найти новый срок и сбалансировать результат.

Решение. По формуле (8.12) получим:

года.

Таким образом, отказ от немедленной выплаты ренты обойдется в 1,7 года увеличения срока ренты. Пусть продолжительность новой ренты (без учета отсрочки) равна 6 годам. Определим современную стоимость такой ренты с учетом отсрочки:

млн. руб.

Найдем современную стоимость заменяемой ренты:

Разницу в сумме 645 тыс. руб. (7,985 – 7,340) следует уплатить в начале действия контракта или с соответствующим наращением в любой иной момент (включить в последующий платеж). 

Замена потока платежей рентой. Рассмотрим общий случай конверсии. Заменим, например, нерегулярный поток денег постоянной годовой рентой постнумерандо. Пусть поток состоит из платежей R_t, выплачиваемых спустя n_t лет после начала действия контракта. Параметры заменяющей немедленной ренты постнумерандо: R, n. В основу замены кладется равенство современных стоимостей заменяемого потока и заменяющей ренты, то есть:

,

откуда

. (8.13)

Данное равенство дает возможность определить один из параметров ренты: R или n.

Пример 8.7. Три платежа 2 тыс. руб., 4 тыс. руб. и 3 тыс. руб. со сроками 2, 3 и 4 года соответственно заменяются рентой с ежеквартальными выплатами в году со сроком 5 лет. Пересчет осуществляется по процентной ставке 18% годовых. Определить ежеквартальную выплату.

Решение. Уравнение эквивалентности можно записать на основе соотношения (8.13) только в данном случае применительно к ренте с неоднократными выплатами в году:

,

,

Отсюда находим ежеквартальную выплату:

руб. 