Рента пренумерандо.

Пусть R – ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в начале каждого года по сложной процентной ставке r, n – срок ренты.

Платеж, сделанный в момент n, даёт наращенную сумму . Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент n-1, равна . Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент n-2, равна и т.д. Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент 2, равна , а в момент 1 - .

Таким образом, наращенная сумма всей ренты в момент n будет равна:

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии, первый член которой , знаменатель , число членов – n. По формуле (53) найдем сумму первых n членов этой геометрической прогрессии:

(61)

Из сравнения рент постнумерандо (54) и пренумерандо (61) ясно, что все формулы для ренты пренумерандо получаются из формул для ренты постнумерандо подстановкой вместо R величины R(1+i).

Сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в (1+r) раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:

где S – наращенная сумма ренты постнумерандо.

Для годовой ренты пренумерандо с m-разовым и непрерывным начислением процентов расчет наращенных сумм производится по формулам:

Для p-срочной ренты:

Современные величины рент пренумерандо рассчитываются аналогично, т.е. рассчитывается современная величина обыкновенной ренты, которая умножается на соответствующий множитель наращения:

и т.д.

7.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо

Как было показано выше, постоянная рента описывается набором основных параметров – R, n, r и дополнительными параметрами р, m. Однако при разработке контрактов и условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда задается одна из двух обобщающих характеристик – S или А, и необходимо рассчитать значение недостающего параметра.

Определение размера члена ренты. Исходные условия: задается S или А и набор параметров, кроме R. Например, за обусловленное число лет необходимо создать фонд в сумме S путем систематических постоянных взносов. Если рента годовая, постнумерандо, с ежегодным начислением процентов, то, обратившись к (7.5), получим

. (7.20)

Пусть теперь условиями договора задана современная стоимость ренты. Если рента годовая (m = 1), то из (7.14) следует

. (7.21)

Таким образом, если ставится задача накопить за определенный срок некоторую сумму S, то прибегают к формуле (7.20), если же речь идет о погашении задолженности в сумме А, то следует воспользоваться (7.21).

Пример 7.9. Известно, что принц Чарльз при разводе с Дианой выплатил последней 17 млн. ф.ст. Как сообщалось, эта сумма была определена в расчете на то, что принцесса проживет еще 50 лет (увы, это не сбылось). Указанную сумму можно рассматривать как современную стоимость постоянной ренты. Определим размер члена этой ренты при условии, что процентная ставка равна 10%, а выплаты производятся помесячно.

По условиям задачи А = 17 млн. ф.ст., n = 50, р = 12, r = 10%. Для ренты постнумерандо с указанными параметрами можно записать

Ежемесячная выплата составит R/12 = 135,6 тыс. ф.ст. 

Аналогичным образом можно определить R и для других условий ренты.

Расчет срока ренты. При разработке условий контракта иногда возникает необходимость в определении срока ренты и, соответственно, числа членов ренты. Решая полученные выше выражения, определяющие S или А, относительно n, получим искомые величины. Так, для годовой ренты постнумерандо с ежегодным начислением процентов находим

.

Аналогичным образом определим сроки и для других видов рент. Сводка формул, полученных для различных рент постнумерандо, приведена в табл. 7.1.

Таблица 7.1

Формулы для расчета срока постоянных рент постнумерандо

Кол-во плате-жей	Кол-во начисле-ний	Исходные параметры
		S	A
p = 1	m = 1

Окончание табл. 7.1

Кол-во плате-жей	Кол-во начисле-ний	Исходные параметры
		S	A
p = 1	m  1
p  1	m = 1
	m = p
	m ≠ р

При расчете срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты:

1. Расчетные значения срока будут, как правило, дробные. В этих случаях для годовой ренты в качестве n удобно принять ближайшее целое число лет. У p-срочной ренты результат округляется до ближайшего целого числа периодов np. Например, пусть для квартальной ренты получено n = 6,28 лет, откуда np =

= 6,28  4 = 25,12 кварталов. Округляем до 25, в этом случае n = 6,25 лет.

2. Если округление расчетного срока производится до меньшего целого числа, то наращенная сумма или современная стоимость ренты с таким сроком оказываются меньше заданных параметров. Возникает необходимость в соответствующей компенсации. Например, если погашается задолженность путем выплаты постоянной ренты, то компенсация может быть осуществлена соответствующим платежом в начале или конце срока, или с помощью повышения суммы платежа.

Пример 7.10. Какой необходим срок для накопления 100 млн. руб. при условии, что ежемесячно вносится по 1 млн. руб., а на накопления начисляются проценты по ставке 25% годовых?

Решение. Имеем R = 12, r = 25%. Используя формулу нахождения срока из табл. 7.1 (для S, при p  1, m = 1), находим

Если срок округляется до 5 лет, то необходимо несколько уменьшить размер члена ренты, т.е. найти член ренты для n = 5. В этом случае ежемесячный взнос должен составить 914,79 тыс. руб. (см. (7.20)). 

7.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент

Ренты пренумерандо и ренты с выплатами в середине периодов. Под рентой пренумерандо понимается рента с платежами в начале периодов.

Различие между рентами постнумерандо и пренумерандо заключается в числе периодов начисления процентов (каждый член ренты пренумерандо «работает» на один период больше).

Поэтому и наращенная и современная стоимость, множитель наращения и множитель приведения ренты пренумерандо больше в (1+r) аналогичного показателя постнумерандо:

S₁ = S (1+r). (7.22)

Здесь S₁ и S – наращенная сумма годовой ренты пренумерандо и постнумерандо соответственно.

Можно показать, что аналогичная зависимость существует между современными стоимостями рент пренумерандо и постнумерандо, то есть:

A₁ = A (1+r). (7.23)

Здесь A₁ и A – современная стоимость годовой ренты пренумерандо и постнумерандо соответственно.

Пример 7.11. В фонд ежегодно в начале года поступают средства по 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Величина фонда на конец срока определяется по формуле (7.22):

Современная стоимость фонда:



Сводка формул, полученных для различных рент пренумерандо приведена в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Формулы для расчета постоянных рент пренумерандо

Кол-во плате-жей	Кол-во начисле-ний	Исходные параметры
		S	A
p = 1	m = 1	S1 = S (1+r)	A1 = A (1+r)
	m  1
p  1	m = 1
	m ≠ р

Пример 7.12. Продолжим пример 7.11. Выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Определить величину фонда на конец срока.

Решение. Величину фонда на конец срока определим по формуле из табл. 7.2:

= =

= 121087,6 = 125685,38 руб. 

Важной для практики является рента с платежами в середине периодов. Например, когда поступления от производственных инвестиций распределяются более или менее равномерно, применение рент пренумерандо или постнумерандо для описания таких потоков может привести к некоторым смещениям в значении получаемых показателей. В таких ситуациях для уменьшения погрешности рекомендуется суммы поступлений за период относить к середине периодов. Наращенные и современные стоимости таких рент находим умножением соответствующих обобщающих характеристик рент постнумерандо на множитель наращения за половину периода. Так, формулы для определения рент с выплатами в середине периодов представлены в табл. 7.3.

Таблица 7.3

Формулы для расчета постоянных рент с выплатами в середине периода

Кол-во плате-жей	Кол-во начисле-ний	Исходные параметры
		S	A
p = 1	m = 1	S1/2 = S (1+r)1/2	A1/2 = A (1+r)1/2
	m  1

Окончание табл. 7.3

Кол-во плате-жей	Кол-во начисле-ний	Исходные параметры
		S	A
p  1	m = 1
	m ≠ р

Отсроченная (отложенная) рента. Отложенными называются ренты, у которых начало выплат сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Например, погашение задолженности планируется начать спустя обусловленный срок. Очевидно, что сдвиг во времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Иное дело современная стоимость.

При расчете современной стоимости отсроченной ренты вначале находят современную стоимость исходной ренты, у которой моментом приведения считается начало выплат (немедленная рента), а затем дисконтируют полученный результат к началу отложенной ренты. Для годовой отложенной ренты современная стоимость _tA рассчитывается по формуле (7.24):

_t A = A ^t = Ra_n;r ^t, (7.24)

где A – современная стоимость исходной ренты, у которой моментом приведения считается начало выплат, t – время задержки в выплате ренты, a_n;r – коэффициент приведения ренты к началу выплат,  ^t – дисконтный множитель,  ^t = (1+r)^-t.

Пример 7.13. Фирма получила определенную сумму, которую спустя 1 год она будет возмещать, выплачивая по 100 тыс. рублей в конце каждого года в течение последующих 3 лет. Какую сумму получит фирма в день заключения сделки при ставке процента 18% годовых?

Решение. t = 1 год, R = 100 тыс. руб., n = 3 лет, r = 18%.

Используя формулу (7.17) и (7.24), найдем искомую величину:

₁ A =

Вечная (бесконечная, перпетуитет) рента. Под вечной рентой (перпетуитет) понимается ряд платежей, количество которых неограниченно – теоретически она выплачивается в течение бесконечного числа лет. В практике вечная рента используется при больших сроках платежей или в тех случаях, когда срок конкретно не оговаривается, например, при начислении пенсии или примером могут служить некоторые виды облигаций.

Очевидно, что наращенная сумма вечной ренты равна бесконечно большой величине, поэтому её нецелесообразно считать. Современная величина вечной ренты есть конечная величина, которая зависит от размера члена ренты и процентной ставки.

Формула для вычисления современной стоимости годовой ренты следует из соотношений (7.14) и (7.15) при n:

, где n, отсюда

, (7.25)

пределом для коэффициента приведения при n является .

Из (7.25) следует

, (7.26)

т.е. член вечной ренты равен проценту от ее капитализированной стоимости.

Пример 7.14. Определить цену годовой вечной ренты, выплаты по которой в конце каждого года составляют 24 тыс. руб. при процентной ставке 12% годовых.

Решение. Подставим данные примера в формулу (7.25):

Для других видов рент получим:

При p = 1, m  1: (7.26)

При p  1, m = 1: (7.27)

При p  1, m ≠ р: (7.28)

Пример 7.15. Пусть требуется выкупить вечную ренту, выплаты по которой в конце каждого месяца составляют 2 тыс. руб., при номинальной процентной ставке 12% годовых и начислении процентов один раз в году. Определить цену p-срочной вечной ренты.

Решение. Из условия задачи следует p = 12, m = 1, j = r = 0,12. Подставив результаты в формулу (7.28), получим:

Так как R – годовая выплата, а 2 тыс. руб. выплачиваются в конце каждого месяца, то в числителе 2 тыс. руб. умножаем на 12. 