Ренты с непрерывным начислением процентов.
Годовая рента. В этом случае сумма R выплачивается один раз в конце года и на выплаченную сумму начисляются непрерывные проценты по ставке (силе роста) . Найдем наращенную в момент n сумму этой ренты. Графическое изображение этой ренты такое же, как и на рис. 1.
Последний платеж входит в наращенную в момент n сумму без изменения. Сумма, наращенная в момент n на предпоследний платеж, равна . Сумма, наращенная на второй от конца платеж равна и т.д.
p-срочная рента. В этой ренте p раз в год выплачивается сумма и в конце года на все платежи начисляются непрерывные проценты по ставке . Наращенная сумма такой ренты будет равна:
7.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
Годовая рента. Под современной стоимостью потока платежей понимают сумму дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени. Вместо термина «современная стоимость» (современная величина) потока платежей в зависимости от контекста употребляют термины капитализированная стоимость, или приведенная величина.
Для определения современной стоимости годовой ренты необходимо каждый платеж продисконтировать на начало срока ренты и сложить все дисконтированные платежи. Дисконтированная величина первого платежа равна Rv, второго – Rv2,…, последнего – Rvn, где v = 1/(1+r). Таким образом, современная стоимость годовой ренты вычисляется по формуле:
Часто эту формулу записывают в виде:
(7.14)
где
(7.15)
- коэффициент приведения ренты со сроком n и ставкой r.
Пример 7.7. Годовая рента постнумерандо характеризуется параметрами: R = 4 млн. руб., n = 5 лет. При дисконтировании по сложной ставке процента, равной 18,5% годовых, получим:
Таким образом, все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12,368 млн. руб. Иначе говоря, 12,368 млн. руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн. руб. в течение 5 лет.
Годовая рента с начислением процентов m раз в году. Не будем выводить формулу для этого случая, а просто заменим в формуле (7.14) дисконтный множитель (1+r)-n на эквивалентную величину (1+j/m)-mn (соответственно, r заменим на (1+j/m)m – 1, после чего имеем:
(7.16)
Рента p – срочная (m = 1). Если платежи производятся не один, а р раз в году, то коэффициенты приведения находятся так же, как это было сделано для годовой ренты. Только теперь размер платежа равен R/p, а число членов составит nр. Сумма дисконтированных платежей в этом случае равна
(7.17)
Пример 7.8. После аварии на химическом заводе в Бхопале (Индия), Корпорация «Юнион Карбайд» предложила в качестве компенсации пострадавшим 2 млн. долл., выплачиваемых в течение 35 лет. Предложение было отклонено («За рубежом», 1985, № 11). Предложенная компенсация эквивалентна 57,5 млн. долл., выплаченных единовременно. Покажем, как была рассчитана эта сумма.
Если выплаты производятся помесячно на протяжении 35 лет равными суммами, то данный ряд платежей представляет собой постоянную ренту (р = 12) с годовой суммой выплат 200/35 = 5,714 млн. долл. в год. Допустим, это рента постнумерандо. Тогда согласно (7.17), положив r = 10% , получим
Иначе говоря, капитал в сумме всего 57,59 млн. долл. при начислении 10% годовых достаточен для выполнения обязательства.
Рента р – срочная (m = р). Число членов ренты здесь равно числу начислений процентов; величина члена ренты составляет R/m. В итоге
(7.18)
Рента p – срочная (m ≠ р). Сумма членов соответствующей прогрессии составит
(7.19)