7.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо

По моменту выплат в пределах периода между платежами ренты делятся на:

- постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты производятся в конце периода;

- пренумерандо, когда выплаты производятся в начале периода;

- ренты с платежами в середине периода;

Будем рассматривать в основном ренты постнумерандо. Связь рент с остальными типами будет установлена позже. Рассмотрим различные виды финансовых рент.

Годовая рента. Годовая рента постнумерандо предусматривает выплаты и начисление процентов один раз в конце года. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей, на которые начисляются сложные проценты по ставке r % годовых. Таким образом, на первый взнос проценты начисляются (n – 1) год, на второй – (n – 2) года и т.д. На последний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенная сумма к концу срока будет равна:

Если посмотреть на эту сумму справа налево, то можно увидеть, что это выражение является суммой геометрической прогрессии с знаменателем прогрессии q = 1+r. Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле

,

где R – первый член прогрессии, n – количество членов прогрессии.

Таким образом, наращенная сумма годовой ренты к концу срока вычисляется по формуле:

(7.4)

Часто эту формулу записывают в виде:

, (7.5)

где

(7.6)

- коэффициент наращения ренты со сроком n и ставкой r.

Ренты с непрерывным начислением процентов.

Годовая рента. В этом случае сумма R выплачивается один раз в конце года и на выплаченную сумму начисляются непрерывные проценты по ставке (силе роста) . Найдем наращенную в момент n сумму этой ренты. Графическое изображение этой ренты такое же, как и на рис. 1.

Последний платеж входит в наращенную в момент n сумму без изменения. Сумма, наращенная в момент n на предпоследний платеж, равна . Сумма, наращенная на второй от конца платеж равна и т.д.

p-срочная рента. В этой ренте p раз в год выплачивается сумма и в конце года на все платежи начисляются непрерывные проценты по ставке . Наращенная сумма такой ренты будет равна:

Пример 7.2. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5% годовых. Определить величину фонда на конец срока.

Решение. Используя формулу (7.4), определим наращенную сумму:

Годовая рента с начислением процентов m раз в году. В рассматриваемом случае проценты начисляются m раз в году по ставке j/m, где j – номинальная ставка. Срок ренты равен n лет. Количество начислений на первую выплату равно (n – 1)m, на вторую – (n – 2)m,…, на предпоследнюю – m, на последнюю – 0.

Отсюда следует выражение для наращенной суммы ренты:

Таким образом, наращенная сумма годовой ренты с начислением процентов m раз в году вычисляется по формуле:

(7.7)

где

. (7.8)

- множитель наращения ренты со сроком n, ставкой j/m и с начислением процентов m раз в год.

Пример 7.3. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по номинальной ставке 15% годовых, причем проценты начисляются поквартально. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда на конец срока.

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (7.8):

Наращенная сумма:

руб. 

Рассмотрим теперь методы расчета наращенной суммы для вариантов p-срочной ренты постнумерандо при условии, что m= 1, m = р и m ≠ р.

Рента p – срочная (m = 1). Выплаты производятся p раз в году, поэтому рента называется p-срочной.

Пусть рента выплачивается р раз в году равными суммами, процент начисляется раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/р. Общее число членов ренты равно nр. Последовательность членов ренты с начисленными процентами представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член ее равен R/р , знаменатель – (1+r) Сумма членов этой прогрессии вычисляется по формуле

, (7.9)

где

. (7.10)

- множитель наращения ренты со сроком n, ставкой r и с выплатами р раз в год.

Пример 7.4. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 5000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся поквартально. Определить величину фонда на конец срока.

Решение. Величину фонда на конец срока найдем по формуле (7.9):

руб. 

Рента р – срочная (m = р). На практике наиболее часто встречаются случаи, когда число выплат в году равно числу начислений процентов: m = р. Для получения необходимой формулы воспользуемся (7.4), в которой r заменено на j/m, а вместо числа лет берется число периодов выплат ренты nр, член ренты равен R/р. Поскольку m = р, то в итоге получим:

. (7.11)

Пример 7.5. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем проценты начисляются и выплаты производятся ежемесячно. Определить величину фонда на конец срока.

Решение. Величину фонда на конец срока найдем по формуле (7.11):

руб. 

Рента p – срочная (m ≠ р). Также она называется, как рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году. В любом году производится p выплат по R/р руб., где R – годовая выплата. Количество начислений процентов в году по номинальной ставке j равно m. Срок ренты – n лет. Наращенная сумма всей ренты определяется следующим образом:

(7.12)

где

(7.13)

- множитель наращения ренты со сроком n, ставкой j/m, с начислением процентов m раз в год и выплатами р раз в год.

Пример 7.6. В фонд ежегодно поступают средства по 5000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Определить величину фонда на конец срока.

Решение. Наращенную сумму найдем по формуле (7.12):

руб. 