Контрольные вопросы к главам 4, 5, 6

1. Какие процентные ставки называются эквивалентными?

2. Опишите эквивалентность между простой и сложной ставками наращения.

3. Опишите эквивалентность между сложной и номинальной процентными ставками наращения.

4. Опишите эквивалентность между простой и номинальной процентными ставками наращения.

5. Опишите смысловое значение индекса цен и темпа инфляции.

6. Напишите формулу, связывающую индекс цен и темп инфляции.

7. Напишите формулу для вычисления индекса цен за несколько периодов.

8. Как определяется обесцененная инфляцией сумма при начислении по простым и сложным процентам?

9. Что такое «проедание» капитала?

10. Опишите связь брутто-ставки с доходностью для простых и сложных процентов.

11. Что такое финансовая эквивалентность обязательств?

12. Дать определение уравнения эквивалентности.

13. Что такое барьерная (критическая) процентная ставка? Приведите пример.

14. Какие платежи называются консолидированными?

15. Описать принцип расчета суммы консолидированного платежа при использовании простой и сложной процентных ставок.

16. Описать принцип расчета срока консолидированного платежа при использовании простой и сложной процентных ставок.

17. Описать принцип замены одного потока платежей другим потоком при использовании простой и сложной процентных ставок.

18. Что подразумевается под «базовой датой» в расчетах консолидированных и заменяющих платежей?

19. Можно ли говорить об эквивалентности денежных сумм, относящихся к разным моментам времени по ставке: а) простых процентов; б) сложных процентов? Дайте соответствующие определения эквивалентности денежных сумм.

20. Какое Вы знаете свойство эквивалентности денежных сумм?

21. Приведите пример двух эквивалентных денежных сумм.

22. Как найти эквивалентное значение в некоторый заданный момент времени для потока платежей?

23. Приведите примеры двух эквивалентных и двух не эквивалентных денежных сумм, относящихся к разным моментам времени?

24. Как сравнить две денежные суммы, относящиеся к разным моментам времени?

25. Приведите пример потока платежей. Вычислите эквивалентное значение в момент времени 1 для этого потока платежей. Ставка 10%.

Глава 7. Постоянные финансовые ренты

7.1. Виды потоков платежей и их основные параметры

Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени, например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплаты пенсии и т. д. Такого рода последовательность, или ряд платежей, называют потоком платежей. Отдельный элемент такого ряда платежей назовем членом потока.

Классификация потоков. В практике встречаются разнообразные потоки платежей. Причем один и тот же вид потока может быть использован в анализе различных финансово-кредитных операций.

Потоки платежей могут быть регулярными (размеры платежей постоянные или следуют установленному правилу, предусматривающему равные интервалы между платежами) и нерегулярными. Члены потоков могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными величинами (выплаты).

Поток платежей, все члены которого – положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой, или просто рентой. Например, рентой является последовательность получения процентов; по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д. Иногда подобного рода поток платежей называют аннуитетом, что, строго говоря, применимо только к ежегодным выплатам.

Рента описывается следующими параметрами:

1. член ренты – размер отдельного платежа;

2. период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами;

3. срок ренты – время от начала первого периода ренты до конца последнего;

4. процентная ставка. Размер ставки не всегда прямо оговаривается в условиях финансовой операции.

При характеристике некоторых видов рент необходимо указать дополнительные условия и параметры:

1. число платежей в году;

2. способ начисления процентов;

3. частота начисления процентов.

В практике применяют разные по своим условиям ренты. В основу их классификации может быть положен ряд признаков. Рассмотрим классификации рент:

1. По количеству выплат членов ренты на протяжении года:

   1. годовые – 1 раз в год;

   2. p-срочные (p – количество выплат в году).

2. По количеству начисления процентов на протяжении года:

   1. ренты с ежегодным начислением;

   2. с начислением m раз в году;

   3. с непрерывным начислением.

3. По величине своих членов:

   1. постоянные – с одинаковыми платежами;

   2. переменные – члены ренты изменяются во времени либо в арифметической прогрессии, либо по геометрической прогрессии, или систематично (задаются таблицей).

4. По вероятности выплат:

   1. верные – подлежат безусловной уплате, число членов заранее известно (например, при погашении кредита);

   2. условные – выплаты ставятся в зависимости от наступления некоторого случайного события, число ее членов заранее неизвестно (страхование, пенсия).

5. По количеству членов:

   1. ограниченные по срокам ренты – с конечным числом членов;

   2. бесконечные (вечные) ренты – перпетуитет. Встречается в ряде долгосрочных операций, когда предполагается, что период функционирования анализируемой системы или срок операции весьма продолжителен и не оговаривается конкретными датами. В качестве вечной ренты логично рассматривать и выплаты процентов по бессрочным облигационным займам.

6. По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента ренты, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или даты его заключения):

   1. немедленные;

   2. отсроченные или отложенные (например, погашение долга в рассрочку после льготного периода).

7. По моменту выплат платежей в пределах периода:

   1. постнумерандо – если платежи осуществляются в конце периода;

   2. пренумерандо – если платежи производятся в начале периода;

   3. иногда контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.

Приведем пример. Контракт предусматривает периодическое погашение задолженности путем выплаты в конце каждого полугодия одинаковых погасительных платежей на протяжении фиксированного числа лет. Данный поток платежей можно классифицировать как p-срочная, постоянная, полугодовая, верная, с ограниченным сроком, рента постнумерандо.

Обобщающие параметры потоков платежей. В подавляющем числе практических случаев анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик, это:

1. Наращенная сумма (будущая стоимость) – сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

2. Современная стоимость потока платежей (настоящая, текущая стоимость) – сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

Конкретный смысл этих характеристик определяется содержанием его членов или их происхождением. Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накопленный денежный резерв и т. д. В свою очередь современная стоимость характеризует приведенные к началу осуществления проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализированный доход или чистую приведенную прибыль от реализации проекта и т. п.

Прямой метод расчета наращенной суммы и современной стоимости потока платежей. Рассмотрим общую постановку задачи. Допустим, имеется ряд платежей R_t, выплачиваемых спустя время n_t, после некоторого начального момента времени. Общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока потока платежей сумму. Если проценты начисляются раз в году по сложной ставкe r, то, обозначив искомую величину через S, получим по определению

(7.1)

Современную стоимость такого потока также находим прямым счетом как сумму дисконтированных платежей:

(7.2)

где А – современная стоимость потока платежей, – дисконтный множитель по ставке r.

Между величинами A и S существует функциональная зависимость. Дисконтируем сумму S с помощью дисконтного множителя получим

Наращивая сумму А по той же ставке, получим

(7.3)

Пример 7.1. График предусматривает следующий порядок выдачи ссуды во времени: 1 июля 2005 г. – 5 млн. руб., 1 января 2006 г. – 15 млн. руб., 1 января 2008 г. – 18 млн. руб. Необходимо определить сумму задолженности на начало 2009 г. при условии, что проценты начисляются по ставке 20%.

Решение.

Наращенная сумма вычисляется по формуле (7.1):

млн. руб.

Современная стоимость потока платежей определяется соотношением (7.2):

Этот же результат можно получить, используя формулу (7.3):

