6.7 Статистические параметры для оценки распределения

На практике часто оказывается неудобно пользоваться результатами наблюдений, представленных в виде статистического распределения и возникает потребность в количественных параметрах, которые характеризуют это распределение. Среди таких параметров наиболее распространенными являются: средняя арифметическая выборки, размах вариации, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Выборочной средней называется среднее арифметическое значения признака выборочной совокупности. Если все значения вариант х₁, х₂, ..., х_n выборки объема n различны, то:

= (6-1)

Если же значения признака х₁, х₂, ..., х_n имеют соответственно частоты n₁, n₂, ... n_k = n, причем n₁ + n₂ + ... + n_k = n - объем выборки, то

= = (6-2)

Выборочная средняя, найденная по данным одной выборки есть, очевидно, определенное число.

Пример 4. Рассмотрим результаты исследования ударного объема сердца у двух групп испытуемых. Эти данные можно представить в виде двух вариационных рядов:

Х₁ (см³) 55, 55, 55, 60, 60, 65, 65, 65 Х₂(см³) 45, 50, 55, 60, 60, 65, 70, 75.

Объем выборки в обоих случаях одинаков n = 8. Легко убедиться, что равны также средние арифметические:

= =60см³;

= =60см³

Вместе с тем, разброс значений вариант относительно средней арифметической второго ряда больше, чем для первого ряда (во втором ряду встречаются варианты 45, 50, 70, 75 см³). Поэтому необходимо определить такие параметры, которые могут характеризовать разброс вариант, характер их изменчивости по отношению к выборочной средней.

Любой вариационный ряд характеризуется наличием наибольшей и наименьшей варианты, а разность между ними называется размахом вариации. Для нашего примера размах вариации первого ряда равен 65 - 55 = 10 см³, а второго ряда 75 - 45 = 30 см³. Более содержательной характеристикой рассеяния наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения является сводная характеристика - выборочная дисперсия.

Выборочной дисперсией D_В называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от среднего значения ( х_i - ). Если все значения х₁, х₂, ..., х_n признака выборки объема n различны, то в соответствие с определением выборочная дисперсия определяется по формуле:

D_B = (6-3)

Если число наблюдений невелико (n < 30), дисперсия определяется по формуле:

D_B = (6-4)

Выборочным средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из выборочной дисперсии: σ_B= = (6-5)

Как и для дисперсии при малом числе наблюдений, среднее квадратичное определяется по формуле: σ_B = = (6-6)

Из определения приведенных понятий очевидно, что дисперсия и среднее квадратичное отклонение вариационных рядов будут тем больше, чем сильнее разбросаны варианты относительно своего среднего арифметического.

Если из генеральной совокупности извлекать несколько выборок одинакового объема, то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке. Таким образом, выборочную среднюю можно рассматривать как случайную величину, а следовательно, можно говорить о распределениях выборочной средней и о числовых характеристиках этого распределения. Для оценки степени отклонения выборочной средней от средней генеральной совокупности используется стандартная ошибка средней арифметической. С увеличением количества наблюдений, на основании которых вычисляется среднее арифметическое, ее значение приближается к истинной средней (средней арифметической генеральной совокупности). Между ошибкой средней арифметической и средним квадратическим отклонением существует простая взаимосвязь:

m = = . (6-7)

Из этого соотношения следует, что при увеличении количества наблюдений (при n   ) стандартная ошибка m средней арифметической приближается к нулю, а выборочная средняя стремится к средней генеральной совокупности.

Пример 5. Пусть в результате подсчета числа эритроцитов в1 мкм крови у 5-х пациентов получены следующие значения 4,2 млн., 4,0 млн., 5,0 млн., 5,5 млн., 5,0 млн. Определить размах вариации, среднее арифметическое, дисперсию, среднее квадратичное этого распределения и ошибку средней арифметической.

Решение: В данном случае статистическое распределение выборки можно записать в следующем виде:

Значение вариант х_i: 4,0 4,2 5,0 5,5

Частоты n_i 1 1 2 1