Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой: , вектор - нормальный вектор прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: , где k – тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс.

Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении: .

Уравнение прямой, проходящей через две точки: .

Каноническое уравнение прямой: , вектор - направляющий вектор прямой.

Уравнение прямой в отрезках: , где a и b – отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

Нормальное уравнение прямой: , где p – длина перпендикуляра, проведенного из начала координат к данной прямой, а α – угол, образованный этим перпендикуляром и осью абсцисс. Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду необходимо помножить все его члены на нормирующий множитель , знак которого противоположен знаку свободного члена в общем уравнении прямой.

Уравнение пучка прямых: Совокупность всех прямых плоскости, проходящих через некоторую точку, называется пучком прямых. Если точка на плоскости определена как точка пересечения прямых , , то уравнение пучка с центром в этой точке имеет вид

.

Угол между прямыми: Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то тангенс угла между ними можно найти по формуле .

Расстояние от точки до прямой: .

Условия параллельности двух прямых:

• если прямые заданы общими уравнениями - ;

• если прямые заданы каноническими уравнениями - ;

• если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами - .

Условия перпендикулярности двух прямых:

• если прямые заданы общими уравнениями - ;

• если прямые заданы каноническими уравнениями - ;

• если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами - .

Пример: Найти прямую, проходящую через точку M(1; 1) и принадлежащую пучку

.

Подставим координаты точки в уравнение пучка и получим уравнение относительно λ: . Следовательно, . Подставив найденное значение λ в уравнение пучка, получим уравнение искомой прямой .

Плоскость

Общее уравнение плоскости: , вектор - нормальный вектор плоскости.

Уравнение плоскости в отрезках: , где a, b и с – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

Уравнение плоскости, проходящей через точку в данном направлении:

.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

.

Нормальное уравнение плоскости: , где p –расстояние плоскости от начала координат к данной прямой, а – направляющие косинусы нормали. Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду необходимо помножить все его члены на нормирующий множитель , знак которого противоположен знаку свободного члена в общем уравнении прямой.

Уравнение пучка плоскостей: Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну прямую в пространстве, называется пучком плоскостей. Если прямая определена как линия пересечения плоскостей , , то уравнение пучка плоскостей, проходящих через эту прямую, имеет вид

.

Условие параллельности плоскостей: если плоскости заданы общими уравнениями - .

Условие перпендикулярности плоскостей: если плоскости заданы общими уравнениями - .