Решение систем линейных уравнений

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Критерием совместности систем линейных уравнений служит теорема Кронекера-Капелли: для того, чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы , где - матрица системы, - расширенная матрица системы. Совместная система имеет либо одно решение и в этом случае называется определенной, либо у нее есть более одного решения, тогда она называется неопределенной.

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Для рассмотренной системы вычислим следующие определители:

, , , .

Формулы Крамера определения решения системы линейных уравнений:

, , .

Возможны следующие ситуации:

• если , то система имеет единственное решение;

• если , но при этом либо , либо , либо , то система не имеет решения;

• если и и и , то система имеет бесконечное множество решений.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Систему можно записать в матричном виде AX=H.

Тогда матричный метод решения системы линейных уравнений выражается следующим образом: , где - матрица, обратная матрице системы.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

• вычислить определитель матрицы системы - ;

• транспонировать матрицу системы;

• вычислить алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы системы и составить из них матрицу ;

• вычислить обратную матрицу по формуле: .

Пример: решить систему линейных уравнений матричным методом.

• ;

• транспонированная матрица системы ;

• матрица алгебраических дополнений ;

• обратная матрица ;

• решение системы ,

• т.е. x = 2, y = 0, z = -1.

Решение однородных систем линейных уравнений

Система вида называется однородной системой линейных уравнений и всегда имеет решение x = 0, y = 0, z = 0. В случае, если определитель системы равняется нулю, система имеет бесконечное множество решений. Тогда необходимо исключить одно уравнение из системы и найти фундаментальное решение системы по формулам , , , где t – произвольное число, , , .

Пример: решить однородную систему линейных уравнений.

Определитель системы , поэтому система имеет единственное нулевое решение .

Элементы векторной алгебры

Векторы. Линейные операции над векторами.

Вектором называется направленный отрезок. Координатами вектора называются его проекции на координатные оси. Вектор можно представить в виде разложения по базисным векторам декартовой прямоугольной системы координат .

Операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами, при этом складываются (вычитаются) или умножаются на число координаты векторов.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Если два вектора заданы своими координатами, то условием коллинеарности векторов является пропорциональность координат, т.е. если и - коллинеарны, то . Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Длина (модуль) вектора вычисляется по формуле: .

Деление отрезка в заданном отношении. Отношением, в котором точка М(x, y) делит отрезок , называется число, удовлетворяющее равенству . Связь между координатами этих точек задается равенствами

, , .

Линейная зависимость векторов

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют числа , не равные нулю одновременно, такие, что выполняется равенство . Три упорядоченных линейно независимых вектора составляют базис в пространстве. Любой вектор пространства можно разложить по базису, т.е. если векторы составляют базис в пространстве, то любой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов: , где являются координатами вектора в базисе .

Пример: показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе, если известно: , , .

Векторы являются линейно независимыми, если определитель, составленный из координат векторов, отличен от нуля.

Вычислим определитель . Таким образом, тройка образует базис. Чтобы разложить вектор по этому базису, запишем соотношение: и решим систему линейных уравнений . Решение этой систем: . Следовательно, .

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов и называется число, обозначаемое . Если векторы заданы координатами и , то скалярное произведение вычисляется как сумма попарных произведений соответствующих координат: . Таким образом, косинус угла между векторами можно вычислить по формуле .

Векторное произведение.

Векторным произведением вектора на вектор называется такой вектор , который определяется по правилу:

• вектор , перпендикулярен векторам и и направлен таким образом, что кратчайший поворот от к виден совершающимся против часовой стрелки;

• .

Векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю только тогда, когда эти векторы коллинеарны. Если векторы заданы своими координатами, то их векторное произведение можно вычислить по формуле

.

Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов называется их векторно-скалярное произведение .

Если некомпланарные векторы приведены к общему началу, то модуль их смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Три ненулевых вектора компланарны только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Если векторы заданы координатами, то их смешанное произведение рассчитывается по формуле

.

Пример: даны векторы , и . Необходимо:

а) вычислить произведение векторов ;

б) найти модуль векторного произведения ;

в) вычислить скалярное произведение векторов ;

г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы ;

д) проверить, будут ли компланарны векторы .

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) так как , то векторы не коллинеарны, а поскольку , то векторы не ортогональны;

д) поскольку , то векторы не компланарны.