Матрицы и операции над матрицами

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел , (i=1, 2,…m, j=1, 2,…n), состоящая из m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрица с равным количеством строк и столбцов называется квадратной. Упорядоченная совокупность элементов (i=j) называется главной диагональю квадратной матрицы. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается Е. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрица-столбец. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрица-строка.

Две матрицы А и В называются равными (А = В), если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны.

Матрица В называется обратной к матрице А, если , обозначается .

Суммой матриц А и В размера называется матрица С=А+В того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В: .

Произведением матрицы А на число α называется матрица С= α А, получающаяся из матрицы А умножением всех ее элементов на α: .

Произведением матрицы А размера на матрицу В размера называется матрица С размера , каждый элемент которой, стоящий в i-й строке и j-том столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В: . Единичная матрица нейтральна к умножению, то есть ЕА=АЕ=А. Квадратную матрицу можно умножать саму на себя, то есть возводить в квадрат.

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на строки). Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице. При транспонировании квадратной матрицы элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций.

Определители, миноры и алгебраические дополнения

Определителем второго порядка квадратной матрицы второго порядка называется число .

Определителем третьего порядка квадратной матрицы третьего порядка называется число

Основные свойства определителей:

Если некоторая строка (столбец) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Определитель меняет знак, если у него поменять местами две строки (два столбца).
Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
Величина определителя увеличивается в k раз, если элементы какого-либо столбца (строки) умножить на k. Другими словами, общий множитель можно выносить за знак определителя.
При транспонировании матрицы определитель не меняется.
Если все элементы какой-либо строки (столбца) представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей.
Если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить умноженные на одно и то же число соответствующие элементы другой строки (столбца), величина определителя не изменится.