1.10. Деление полиномов на базе лпс

Схема для деления полинома A (X) = a₀ + a₁ X + a₂ X ² + … + a_k X ^k на полином G(X) = g₀ + g₁ X + g₂ X ² + … + g_r X ^r показана на рис. 4.5. Динамическое ЗУ в виде СР вначале должно содержать все нули. Для

деления полиномов СР охвачен обратной связью, т. е. выход СР соеди- няется со входом. Для подчеркивания противоположного направления

_–1

^{шины обратной связи коэффициент умножителя обозначается как g}_r ^.

Однако для двоичных кодов результат умножения и деления на единицу

одинаков, поэтому указанное обозначение в дальнейшем использовать- ся не будет. Первый вариант ЛПС для деления полиномов (рис. 4.5).

Выход

_–1

^–g₀ ^–g₁ ^–g₂ ^–g_{r – 2} ^–g_{r – 1} ^–g_r

+ + +

Вход

... _{+ +}

_{Рис. 4.5}

Для первых r-сдвигов, т. е. до тех пор, пока первый входной символ не достигнет конца PC, выход принимает значения, равные "0". После этого на выходе появляется первый ненулевой выход, который равен

^a_k ^g_r

^–1 – первому коэффициенту частного. Для каждого коэффициента

частного g_j необходимо вычесть из делимого полином G (X). Это вычи- тание производится с помощью обратной связи. После k сдвигов на выходе появится частное от деления, а остаток от деления будет нахо-

диться в PC.

Работу схемы легче всего понять с помощью примеров построения КУ и ДКУ на базе ЛПС, рассматриваемых далее в разд. 1.11. Второй вариант ЛПС с делением на генераторный полином (рис. 4.6).

_{+ + +}

_{... +}

^h_{k – 1} ^h_{k – 2} ^h_{k – 3} ^h₁ ^h₀

_...

B_i (X)

Выход

_{a a a}

0 1

2

_{Рис. 4.6}

_a

k – 2

_a

k – 1

При построении КУ ЦК, а также генераторов различных кодовых последовательностей, в частности, последовательностей максимальной длины (М-последовательностей), применяется в ряде случаев так назы- ваемый генераторный полином Н (Х). Этот полином называют также проверочным, если он получается при делении бинома 1 + Х ⁿ на по- рождающий полином G (X):

_{H ( X )}

_{1  X} ⁿ

_{ .}

_(4.34)

G( X )

При использовании этой схемы в качестве КУ ЦК исходную кодо- вую комбинацию А(Х) параллельно, одновременно записывают в k раз- рядов СР.

С первым тактом на выход будет выдан коэффициент b_{n – 1} = a_{k – 1}, произойдет сдвиг вправо в СР, и в освободившуюся ячейку памяти бу- дет записано вычисленное значение проверочного бита r_{n – k – 1} = h₀ a_{k – 1} +

^{+ h}₁ ^a_{k – 2} ^{+ ... + h}_{k – 1} ^a₀^{. Со вторым тактом на выход будет считан}

^{коэффициент b}_{n – 2} ^{= a}_{k – 2}^{, произойдет сдвиг, и в освободившуюся первую}

^{ячейку СР запишется второй проверочный бит r}_{n – k – 2} ^{= h}₀ ^a_{k – 2} ^{+ h}₁ ^a_{k – 3} ⁺

^{+ ... + h}_{k – 1} ^r_{n –k – 1}^{. Чеpез n – k тактов будут вычислены все n – k прове-}

^{рочных символов r}₀^{, r}₁^{, …, r}_{n – k – 1} ^{и записаны в СР. После k тактов, т. е.}

^{после вывода на выход всех информационных символов, станут выво-}

диться проверочные символы в том же порядке, в каком они вычисля- лись. На выходе получается блочный код. После k тактов процесс кодиро- вания одной комбинации А_i(Х) заканчивается, и СР принимает исходное

^{состояние. Для кодирования следующей комбинации необходимо стереть}

А_i(Х), ввести в СР новую А_j(Х) и повторить цикл из n тактов.

Рассмотрим более конкретно работу этой схемы на примере исполь- зования ее в качестве КУ с привязкой начальных условий к данным предыдущих примеров.

Пример

Построить схему КУ, обеспечивающего кодирование ЦК Хемминга (7,4) с порождающим полиномом G(X) = 1 + X + Х ² путем вычисления блока проверочных символов "в целом", используя проверочный полином Н(Х). Проследить по тактам процесс кодирования и состояние элементов схемы при кодировании исходной комбинации 1001 ~ 1 + X ³ = A (X).

Построение схемы КУ определяется проверочным полиномом (4.34)

₇

H ( X )

_ ^{1  X}

1  X  X ³

 1  X  X ²  X ⁴.

Так как k = 4, то число разрядов СР равно четырем. По виду прове- рочного полинома определяем, что h₀ = h₁ = h₂ = h₄ = 1, h₃ = 0.

^{Схема КУ для условий примера показана на рис. 4.7. Состояние яче-}

ек СР и выхода схемы по тактам – в табл. 4.4.

В исходном положении в триггерные ячейки СР записываются ин- формационные символы A_i (X) = 1 + X ³ ~ 1001. Учитывая наличие об- ратной связи в СР с выхода на вход, суммирование по модулю 2 выхо-

дов ячеек Х ¹, Х ² и X ³ даст символ записи в ячейку Х⁰. После первого сдвига в Х⁰ будет записан символ проверочной группы r₁, который при последующих сдвигах продефилирует на выход СР. Из табл. 4.4 видно,

что после n = 7 тактов на выходе образуется комбинация 0111001 (стар- шим разрядом вперед).

Номер такта	Состояние ячеек				Выход
	X 0	X 1	X 2	X 3
A (X)	1	0	0	1	–
1 2 3 4 5 6 7	1 1 0 1 0 0 1	1 1 1 0 1 0 0	0 1 1 1 0 1 0	0 0 1 1 1 0 1	1 0 0 1 1 1 0

Таблица 4.4

_{+ +}

_{h = 1}

_{h = 0 h = 1 h = 1 h = 1}

_{4 3 2 1 0}

_X0 _X1 _X²

_{1 2 3}

a = 1

_X3

_Выход

_{B (X)}

^{0 a = 0 a = 0 a = 1 i}

A_i (X)

Рис. 4.7

При этом триггерные ячейки СР принимают исходное значение 1001, и при необходимости возможно повторение процедуры кодирования этой же кодовой комбинации A_i (X) путем подачи очередных следующих n = 7

^{тактов. Таким образом, этот способ кодирования так же, как и первый}

вариант схемы для деления полиномов, обеспечивает получение кодо- вых комбинаций разделимого, блочного ЦК. Кроме того, подобная ЛПС может быть использована для генерации определенной кодовой комби- нации, в частности, М-последовательности.

Рассмотрение вариантов построения ЛПС, выполняющих операции умножения и деления полиномов, с целью использования в кодеках ЦК, позволяет сделать следующие выводы:

1) В КУ ЦК процедура умножения полиномов приводит к получе-

нию неразделимых кодов, что усложняет их последующее декодирова- ние. Поэтому операция умножения редко используется в устройствах формирования и обработки ЦК.

2) При делении на порождающий полином G (X) код на выходе КУ получается разделимым и СР содержит r разрядов. Так как в большин- стве случаев используются ЦК, у которых число проверочных симво- лов r существенно меньше числа информационных (r < k), то СР в этом случае будет иметь меньшее число разрядов, чем при делении на гене- раторный полином.

3) При делении в КУ исходной кодовой комбинации на генератор- ный многочлен ЦК также получается разделимым, но в СР требуется использовать не r, а k разрядов, которых, как правило, больше.

Применение этого способа более целесообразно в тех случаях, когда одна и та же кодовая комбинация передается по каналу связи много- кратно, например при передаче формата сообщения с аварийных буев в системах поиска и спасения терпящих бедствие объектов.

Линейные переключательные схемы широко применяются как при формировании и обработке ЦК, так и при генерировании кодирован- ных последовательностей, в частности, М-последовательностей. Рас- смотрим ряд характерных примеров применения ЛПС в технике связи.