1.8. Структурный состав линейных переключательных схем

Цикличность перестановок при формировании разрешенных кодо- вых комбинаций ЦК лежит в основе техники построения кодирующих устройств (КУ) и декодирующих устройств (ДУ) циклических кодов. Эта техника применяет сдвигающие регистры (СР) в виде триггерных цепочек с теми или иными обратными связями. Такие СР называют также многотактными линейными переключательными схемами (ЛПС) и линейными кодовыми фильтрами Хафмена, который первым начал изучение ЛПС с точки зрения линейных фильтров. Кстати, Д. Хафмен является и автором принципа, состоящего в том, что "две точки зрения лучше, чем одна", получившего широкое применение в настоящее ком- промиссное время.

При построении ЛПС используется три вида элементарных устройств:

1) сумматор, имеющий, как правило, два входа и один выход, причем для двоичных кодов суммирование осуществляется по модулю 2;

2) ЗУ, имеющее один вход и один выход и представляющее собой одну триггерную ячейку (один разряд) СР;

^{3) устройство умножения на постоян-} ₊

^{ную величину, имеющее один вход и один}

выход. Эти устройства изображаются на схемах так, как показано на рис. 4.1.

g_i

Рис. 4.1

Линейными переключательными схемами с конечным числом состо- яний называются любые схемы, содержащие конечное число суммато- ров, устройств памяти и устройств умножения на константу, соединен- ных любым допустимым способом.

В бинарном случае сумматор (равно как и вычитатель) представляет собой логический элемент "исключающее ИЛИ", а устройство памяти является устройством задержки (D-триггером). Устройства задержки, включенные последовательно, составляют СР, в ячейках которого вы- ходной символ совпадает с входным символом в предшествующий мо- мент времени. К СР подводится шина сдвига, с помощью которой так- товыми импульсами (ТИ) осуществляется продвижение по разрядам СР записанной кодовой информации. Как правило, шина сдвига не пока- зывается на схемах с изображениями ЛПС.

При формировании и обработке двоичных ЦК введение в схему ЛПС умножителя на константу, равную 1, эквивалентно введению дополни- тельного соединения, а умножитель на константу, равную 0, соответ- ствует отсутствию такого соединения.

Предполагается, что на вход СР, входящего в состав ЛПС, кодовая комбинация подается последовательно, с периодичностью, равной пе- риоду следования ТИ в шине сдвига. Аналогично, последовательно во времени, появляются кодовые символы на выходе СР. Когда входом или выходом является многочлен, представляющий при двоичной обработ- ке набор "1" и "0", то на входном или выходном конце СР появляются только коэффициенты ("1" или "0"), начиная с коэффициентов высших порядков. Это обусловливается тем, что при делении у делителя снача- ла должны быть обработаны коэффициенты высших порядков.

В последующих разделах описываются схемы, используемые для ум- ножения и деления любых многочленов на некоторый фиксированный, в частности, порождающий полином.

1.9. Умножение полиномов на базе ЛПС

Схема, изображенная на рис. 4.2, используется для умножения лю- бого полинома на входе

0 1 2

A (X) = a + a X + a X²

^{+ … + a}_k ^X

k

на фиксированный полином, в частности, порождающий:

2

G (X) = g₀ + g₁ X + g₂ X

+ … + g_r X .

r

Предполагается, что первоначально все разряды СР содержат нули, а

на вход коэффициенты полинома А (Х) поступают, начиная с коэффи- циентов высших порядков (со старших разрядов), после чего следует r нулей.

+ + ₊ ^... ₊

₊

^Выход

g_r

Вход

^gr–1

^gr–2 ^g_r–3

_{Рис. 4.2}

...

g_{1 g0}

Произведение полиномов

A (X) G(X) = a₀ g₀ + (a_o g₁ + a₁ g₀) X + ... + a_k g_r X

k+r

. (4.32)

Когда на входе ЛПС появляется первый (старший) коэффициент по- линома А(Х), то он умножится в первом устройстве умножения на g_r и появится на выходе уже как результат перемножения a_k g_r , проследовав

"транзитом" через все схемы суммирования по модулю 2. Кроме того, a_k запишется в первом разряде СР, а все остальные разряды СР будут со- держать нули. Спустя единицу времени, с появлением в шине сдвига

2-го ТИ, на входе появится a_{k –1}, который перемножится с g_r и сложится в первой схеме суммирования по модулю 2 с a_k g_{r – 1}, сформировав на выходе сумму a_{k – 1} g_r + a_k g_{r – 1}, т. е. второй коэффициент произведения A(X) G(X). Дальнейшие операции производятся аналогичным образом.

После r + k сдвигов СР полностью обнуляется и на выходе появляется значение a₀ g₀, равное первому коэффициенту произведения (4.32), так что произведение на выходе ЛПС последовательно получается в пол-

ном составе. Второй вариант ЛПС для умножения полиномов показан на рис. 4.3.

Вход

g₀ g₁

^{g2 g}_{r – 2} ^g_{r – 1} g_r

_{+ +} ...

_{Рис. 4.3}

+ + +

Выход

Коэффициенты произведения формируются непосредственно в СР. После того, как первый символ подается на вход, на выходе появляется последний коэффициент (4.32) a_k g_r, а разряды СР содержат только нули.

^{После одного сдвига ячейки СР содержат элементы a}_k ^g₀^{, a}_k ^g₁^{, ..., a}_k ^g_{r – 1}^,

^{a вход равен a}_{k –1}^{. При этом выход СР равен a}_k ^g_{r –1} ^{+ a}_{k –1} ^g_r^,

^{т. е. равен второму коэффициенту (4.32). После появления очередного}

ТИ в шине сдвига (не показана на рис. 4.2 и 4.3) на выходе появляется третий коэффициент (4.32). Дальнейшие операции производятся анало- гичным образом.

Схемы умножения могут иметь более чем один вход, если добавить к ЛПС, изображенной на рис. 4.3, вторую шину с цепочкой устройств умножения, связанных с соответствующими схемами суммирования по модулю 2. Тогда схема будет реализовывать процедуру суммирования произведений двух пар полиномов

^{C (X) = A}₁^{(X) G}₁^{(X) + A}₂^{(X) G}₂^{(X) , (4.33)}

причем ЗУ в виде СР будет только одно.

Выход Вход

_{+ +}

g₃ = 1

^{g2 = 0 g}₁ ^{= 1 g}₁ ^{= 1 g}₀ ^{= 1} g₁ = 1 ^g₂ ^{= 0 g}₃ ^{= 1}

_{+ +}

Вход ^Выход

_{Рис. 4.4}

Пример

Составить 2 схемы кодирующих устройств ЦК Хемминга (7, 4) на базе двух рассмотренных вариантов ЛПС для умножения полиномов

(рис. 4.4). В качестве порождающего полинома использовать полином

G (7,4) = Х ³ + X +1.

Напомним (см. подразд. 1.4), что применение в кодерах метода ум- ножения приводит, к сожалению, к формированию неразделимых ЦК.