1.7. Циклические коды Боуза –Чоудхури –Хоквингема

Коды Боуза–Чоудхури–Хоквингема (БЧХ) представляют собой обширный класс кодов, способных исправлять несколько ошибок и занимающих заметное место в теории и практике кодирования. Ин- терес к кодам БЧХ определяется по меньшей мере тремя следующи- ми обстоятельствами:

1) среди кодов БЧХ при небольших длинах существуют хорошие (но, как правило, не лучшие из известных) коды;

2) известны относительно простые и конструктивные методы их ко- дирования и декодирования;

3) полное понимание построения кодов БЧХ является наилучшей отправной точкой для изучения многих других классов кодов.

Коды БЧХ независимо открыли Хоквингем (1959) и Боуз и Рой–Чо- удхури (1960 г.), которые доказали ряд теорем, устанавливающих суще- ствование таких ЦК, у которых минимизируется число проверочных символов, а также указывающих пути нахождения порождающих поли- номов для этих кодов.

Корректирующие свойства ЦК могут быть определены на основа- нии следующей теоремы: для любых значений m и g_и существует ЦК

^{длиной n = 2m – 1, исправляющий все ошибки кратности g}_и ^{и менее}

^(g_и ^{< m) и содержащий не более n – k  mg}_и ^{проверочных символов.}

^{Так, например, при n = 15, m = 4 и различных g}_и ^{число проверочных}

^{символов будет равно: g}_и ^{= 1, n – k = mg}_и ^{= 4·1= 4; g}_и ^{= 2, mg}_и ^{= 4·2 = 8;}

^g_и ^{= 3, mg}_и ^{= 4·3 = 12. Соответствующие коды (n, k) будут (15,11),}

^{(15,7), (15,3). Напомним, что минимальное кодовое расстояние d}_min ⁼

^{= 2 g}_и ^{+1 и применительно к ЦК оно чаще называется конструктивным}

^{расстоянием. Если величины g}_и ^{или d}_min ^{выбрать слишком большими,}

то получившийся в результате код будет тривиальным – в нем будет лишь один либо (при r > n) ни одного информационного символа.

В табл. 4.3 даны параметры и порождающие полиномы некоторых кодов БЧХ. Полиномы приведены в восьмеричной форме записи, стар- шая степень расположена слева.

Например, коду (15,7) соответствуют двоичное представление

111010001 и многочлен G (X) = X ⁸ + Х ⁷ + Х ⁶ + X ⁴ +1. Подробные табли- цы порождающих полиномов циклических кодов БЧХ приведены в [3].

Коды БЧХ с длиной 2^m – 1 называют примитивными кодами БЧХ. К

ним, в частности, относятся классические коды Хемминга, исправляю- щие однократные ошибки. К кодам БЧХ относятся также коды, длина n которых является делителем 2^m – 1. Например код Голея (23, 12, 7) (см. подразд. 1.4) также принадлежит классу кодов БЧХ, поскольку при m = 11 примитивный код БЧХ имеет длину n = 2¹¹ – 1 = 2047, причем это значение без остатка делится на длину кода Голея n = 23 (2047 : 23 = 89), который относится к непримитивным БЧХ-кодам [2, 3].

Таблица 4.3

m	n	k	r	gи	G (X) – mod 8
3 4 5 6	7 15 31 63	4 11 7 26 21 16 11 57 51 45 39 36	3 4 8 5 10 15 20 6 12 18 24 27	1 1 2 1 2 3 5 1 2 3 4 5	13 23 721 45 3551 107657 5423325 103 12471 1701317 166623567 1033500423

m	n	k	r	gи	G (X) – mod 8
7 8	127 255	120 113 106 99 92 247 239 231 223 215	7 14 21 28 35 8 16 24 32 40	1 2 3 4 5 1 2 3 4 5	211 41567 11554743 3447023271 624730022327 435 267543 156720665 75626641375 2157564726421

На основании данных табл. 4.3 можно построить графики зависимо- сти скорости передачи В_k = k / n от значения скорости исправления ошибок v = g_и / n, которые приведены в [3]. Если отношение g_и / n

^{остается постоянным, то скорость передачи В}_к ^{стремится к нулю, когда}

^{n неограниченно возрастает.}

Как отмечалось выше, все примитивные коды БЧХ обладают конст- руктивным расстоянием d_min  2g_и + 1. Расстояние можно увеличить до

2g_и + 2. Для этого нужно основной порождающий полином БЧХ-кода домножить на бином X + 1, т. е. G₁(X) = (Х + 1)  G_БЧХ(X), что повлечет за собой прибавление к коду одного проверочного символа, обеспечи-

вающего проверку на четность всех символов БЧХ-кода. Таким обра- зом получается расширенный БЧХ-код.

Адекватно можно получить укороченный (усеченный) БЧХ-код, сле- дуя алгоритму, изложенному в подразделе 1.6.

Коды Рида–Соломона (PC) являются важным и широко используе- мым подмножеством кодов БЧХ. Двоичный код Рида–Соломона полу- чится, если взять основание кода q = 2^s. Это означает, что каждый сим- вол кода заменяется s-значной двоичной последовательностью. Если исходный код с основанием q исправляет ошибки кратности  g_и, то

^{полученный из него двоичный код имеет 2g}_и^{s проверочных символов}

^{(по 2g}_и ^{на каждый блок из s символов) из общего числа n = s (2s – 1).}

Код может исправлять серийные ошибки (пакеты ошибок) длиной  b =

^{= s(g}_и ^{– 1) + 1.}

^{Коды PC, наряду с кодами Файра (4.10), являются наиболее подходя-}

щими для исправления серийных ошибок, а также в каскадных систе- мах кодирования в качестве внешних кодов.

Построение кодеров и декодеров ЦК основывается на применении ЛПС, содержащих сдвигающие регистры. Как отмечает Р. Блейхут [2], ЛПС "были сразу использованы большинством исследователей и вош- ли в литературу без всяких фанфар."