1.5. Построение порождающих и проверочных матриц циклических кодов

Наряду с полиномиальным способом задания кода, структуру пост- роения кода можно определить с помощью матричного представления.

При этом в ряде случаев проще реализуется построение кодирующих и декодирующих устройств ЦК.

Рассмотрим варианты формирования и обработки ЦК, заданных в виде порождающих и проверочных матриц, на конкретном примере ЦК Хемминга (7, 4), воспользовавшись выражением (4.11), в котором опре- делены двойственные (дуальные) порождающие полиномы кода:

X ⁷ + 1 = (X + 1) (X ³ + X + 1) (X ³ + X² + 1), что соответствует кодам (7, 6); (7, 4); (7, 4).

Пример

Задан ЦК (7,4) дуальными порождающими полиномами

G (7,4) = X³ + X + 1 и

G^˜ (7, 4) 

X ³  X ²  1.

Составить порождающие матрицы для формирования разрешен- ных кодовых комбинаций и проверочные матрицы для получения синдромов.

Первой строкой в матрице записывается порождающий полином (в двоичном представлении) с домножением его на оператор сдвига X ^r для резервирования места под запись r = 3 проверочных символов. Сле- дующие k – 1 строк матриц получаются путем последовательного цик-

лического сдвига базового кодового слова матрицы G и G^˜ на одну по- зицию вправо, поскольку при этом по определению ЦК также получа- ются разрешенные к передаче кодовые комбинации:

_{1011000 1 1101000 1}

_{G 7, 4 }

_{0101100 2}

_{G˜ 7, 4 }

_{0110100 2.}

0010110 3 0011010 3

_{0001011 4 0001101 4}

(4.24)

Однако в таком виде эти порождающие матрицы размерностью k  n-(n столбцов, k строк) могут образовать только неразделимый ЦК, т. е. код, у которого не определены жестко места информаци- онных и проверочных элементов. Для построения порождающей мат- рицы, формирующей разделимый блочный код, необходимо матри- цу преобразовать к каноническому виду путем простых линейных опе- раций над строками, промаркированными № 1–4.

С учетом свойства ЦК (4.12), каноническую форму матрицы можно получить путем сложения ряда разрешенных кодовых комбинаций. Ка-

ноническая матрица должна в левой части порождающей ЦК матрицы содержать единичную диагональную квадратную подматрицу E поряд- ка k для получения в итоге блочного ЦК. С этой целью для получения первой строки канонической матрицы G_k (7, 4) необходимо сложить по

^{модулю 2 строки с номерами 1, 3 и 4 матрицы G (7, 4), а для матрицы}

˜

^G˜ k

^{– строки с номерами 1, 2 и 3 матрицы}

^{Gk (7, 4). В этом случае в}

матрицах (4.24) в первых строках остаются "1" только на первых пози- циях, а остальные "k – 1" символов заменяются "0", что и соответствует первым строкам единичных подматриц порядка "k". Нормирование пос- ледующих трех строк канонических матриц производится путем соот- ветствующего суммирования строк матриц (4.24).

В итоге имеем следующий вид дуальных канонических матриц:

1000	101	1  1  3  4
0100	111	2  2  4
0010	110	3  3
0001 ç	011	4  4 ,_ _,

^Gk ^7,4 ^

E

^{№ строк G}_k

1000	110	1  1  2  3
0100	011	2  2  3  4
0010	111	3  3  4	.
0001 ç	101	4  4 ,_ _,

^{G˜ k} ^7,4 ^

E

^{№ строк G˜} _k ^{(7, 4)}

(4.25)

Процесс кодирования первичных кодов на стороне источника сооб- щений сводится к умножению информационных посылок, представлен-

ных в виде векторов ническую матрицу:

^A_i  ^X  ^{, на соответствующую порождающую кано-}

^B_i  ^X  ^{ A}_i  ^X ^G_k ^.

(4.26)

Эта процедура позволяет получить блочные коды Хемминга "в це- лом", т. е. получить проверочную группу символов r₁, r₂, r₃ сразу после выполнения операции (4.26). Наряду с этим имеется возможность фор-

мировать символы проверочной группы поэлементно, как это предус- матривалось при выполнении студентами ЛР № 3 "Корректирующие коды", где 3 проверочных символа задавались следующими равенства- ми проверки на четность:

r1  i1  i2  i3;	r1  i1  i3  i4 ;
r2  i2  i3  i4 ;	r2  i1  i2  i3;
r3  i1  i2  i4 ;	r3  i2  i3  i4.	(4.27)

Обратим внимание на то, что алгоритм (4.27) просто получается из рассмотрения порождающих коды Хемминга матриц (4.25), в которых проверочные подматрицы, содержащие 3 столбца (r₁, r₂, r₃), имеют сим-

^{волы "1" в тех строках, номера которых совпадают с маркировкой ин-}

формационных символов i в равенствах (4.27) [см. (4.14)].

При матричном варианте обработки принятых кодов на стороне по- лучателя сообщений для получения синдрома необходимо принятую,

возможно искаженную в канале, кодовую комбинацию на проверочную матрицу Н (Х):

^B_i^{( X )} умножить

S  B_i^( X )H( X ).

(4.28)

Заметим, что матрица Н с размерностью n х r может быть получена

из порождающей матрицы канонического вида (4.25) путем дополне- ния проверочной подматрицы единичной матрицей размерности r  r, что дает следующий вид дуальных проверочных матриц:

	101			110
	111			011
	110			111
Hk 7, 4  	011		H˜ k 7, 4  	101
	100			100		4.29
	010	E		010	E
	001			001

По определенному с помощью полученного синдрома (4.28) соот- ветствующему шумовому вектору исправляются ошибки (4.18).

Интересно отметить, что в табл. 4.2, в которой рассмотрена связь между синдромом и шумовым вектором для кода (7,4), колонки с синд- ромами дуальных порождающих полиномов полностью совпадают с (4.29).

В ЦК Хемминга (n , k) все проверочные r = n – k разряды размеща- ются в конце кодовой комбинации и, как отмечалось, формируются "в целом". При поэлементном получении проверочных символов (4.27) целесообразно, чтобы каждый синдром представлял собой двоичное число, указывающее на номер разряда, в котором произошла ошибка. Коды, в которых синдромы (опознаватели) соответствуют указанному принципу, и предложил впервые Хемминг. В этом случае для кода (7, 4) проверочные символы r₁, r₂, r₃, (табл. 4.2) размещаются на первой, вто-

^{рой и четвертой позициях кодовой комбинации, отсчитываемых справа}

налево. Такое построение кодов упрощает декодирующее устройство на стороне получателя сообщений.