1.4. Принципы формирования и обработки разрешенных кодовых комбинаций циклических кодов

На основании материалов предыдущего раздела можно дать следую- щее определение циклических кодов.

Циклические коды (ЦК) составляют множество многочленов В_i(Х) степени n – 1 и менее (до r = n – k, где r – число проверочных симво- лов), кратных порождающему (образующему) полиному G (Х) степени

r, который, в свою очередь, должен быть делителем бинома X ⁿ + 1, т. е. остаток после деления бинома на G (X) должен равняться нулю.

Учитывая,что ЦК принадлежат к классу линейных, групповых ко- дов, сформулируем ряд основных свойств, им присущих.

1. Сумма разрешенных кодовых комбинаций ЦК образует разрешен- ную кодовую комбинацию

B_i(X)  B_j(X) = B_k(X). (4.12)

2. Поскольку к числу разрешенных кодовых комбинаций ЦК отно- сится нулевая комбинация 000 ... 00, то минимальное кодовое расстоя- ние d_min для ЦК определяется минимальным весом разрешенной кодо-

^{вой комбинации:}

d_min = W_min. (4.13)

3. Циклический код не обнаруживает только такие искаженные по- мехами кодовые комбинации, которые приводят к появлению на сторо- не приема других разрешенных комбинаций этого кода из набора N₀.

^{4. Значения проверочных элементов r = n – k для ЦК могут опреде-}

ляться путем суммирования по модулю 2 ряда определенных информа- ционных символов кодовой комбинации А_i (Х). Например, для кода Хем-

^{минга (7,4) с порождающим полиномом G (X) = X 3 + Х + 1 алгоритм}

получения проверочных символов будет следующим:

^r₁ ^{= i}₁ ^{ i}₂ ^{ i}₃ ^;

^r₂ ^{= i}₂ ^{ i}₃ ^{ i}₄ ^;

^r₃ ^{= i}₁ ^{ i}₂ ^{ i}₄ ^{. (4.14)}

Эта процедура свидетельствует о возможности "поэлементного" получения проверочной группы для каждой кодовой комбинации А_i(Х). В соответствии с (4.14) могут строиться кодирующие устрой-

^{ства для ЦК.}

5. Как было показано на примере в подразд. 1.2, умножение полино- ма на X приводит к сдвигу членов полинома на один разряд влево, а при умножении на X^r, соответственно, на r разрядов влево, с заменой r младших разрядов полинома "нулями". Умножение полинома на X сви- детельствует о том, что при этой процедуре X является "оператором сдвига". Деление полинома на X приводит к соответствующему сдвигу членов полинома вправо с уменьшением показателей членов на 1. Про- цедура сдвига позволяет к исходной кодовой комбинации А_i(Х) после

^{умножения ее на X r, дописать справа r проверочных символов.}

6. Поскольку разрешенные кодовые слова ЦК B_i(X) без остатка де- лятся на порождающий полином G(X) с получением итога в виде ин- формационной комбинации А_i(Х) (4.1), то имеется возможность форми-

^{ровать B}_i^{(X) на стороне передачи (кодирующее устройство) простым}

^{методом умножения (4.2).}

Два последних свойства ЦК позволяют осуществить построение ко- деров ЦК двумя методами: методом умножения и методом деления по- линомов. Рассмотрим достоинства и недостатки этих методов с учетом вариантов построения декодеров ЦК, соответствующих этим методам.

Метод умножения позволяет при формировании разрешенных кодо- вых комбинаций по алгоритму (4.2) использовать любой порождающий полином, лишь бы его максимальная степень была равна числу необхо- димых проверочных символов r.

Однако этот метод обладает двумя существенными недостатками.

Во-первых, при формировании ЦК методом умножения в получен- ной комбинации B_i(X) в явном виде не содержатся информационные символы. Код получается неразделимым с "перетасованными" инфор-

мативными и проверочными символами, что затрудняет его декодиро- вание, так как это приводит к необходимости применять метод макси- мального правдоподобия в декодирующем устройстве (ДУ).

Метод максимального правдоподобия (ММП) предполагает при ис- правлении ошибок принимаемую кодовую комбинацию отождествлять с той разрешенной, к которой принятая находится ближе всего. При таком непосредственном способе декодирования в памяти запоминаю- щего устройства (ЗУ) декодера необходимо хранить все разрешенные кодовые комбинации N₀, что требует на стороне приема больших объе-

^{мов ЗУ и большого времени обработки при декодировании. Эти обсто-}

ятельства являются вторым недостатком метода умножения при коди- ровании ЦК.

Исследования показывают [2–5], что хороший циклический коррек- тирующий код с кратностью исправляемых ошибок g_и  5 при относи- тельной скорости кода В_к  0,5, т. е. коэффициенте избыточности x  0,5,

должен иметь число информационных символов k  40. Это значение и

приводит к техническим трудностям при процедуре декодирования по ММП, сводящейся к сравнению принятой кодовой комбинации со все- ми N₀ разрешенными.

^{Для примера определим время декодирования Т}_дк ^{принятой кодовой}

^{комбинации, если число информационных символов в ней k = 40 и для}

сравнения используется ЭВМ со скоростью 10⁷ операций в секунду. Будем полагать, что для сравнения принятой кодовой комбинации с од- ной из разрешенных достаточно одной операции на ЭВМ. Тогда для проведения N₀ = 2^k = 2⁴⁰ сравнений потребуется время декодирования

_{40 12 5}

_{T } ^N_{0 } 2

_ 1,110

_{ 1,110}5 _c

_ 1,110

_{ 30 ч.}

_{дк 7 7}

^V_ЭВМ ^{10 10}

3600 c

Как видно из примера, задача декодирования простым перебором и

сравнением непосильна даже для современных ЭВМ.

В соответствии с этим, основным направлением в теории кодирова- ния является поиск таких кодов и алгоритмов их формирования и обра- ботки, для которых не требуется хранение в ЗУ разрешенных кодовых комбинаций. Эти задачи решаются, в частности, при построении коде-

ров на основе деления полиномов, а при декодировании – на основе синдромного метода декодирования (СМД).

Метод деления полиномов позволяет представить разрешенные к пе- редаче кодовые комбинации в виде разделенных информационных A_i(X) и проверочных R_i(X) символов, т. е. получить блочный код.

Поскольку число проверочных символов равно r, то для компактной

их записи в последние младшие разряды кодового слова надо предвари- тельно к A_i(X) справа приписать r "нулей", что эквивалентно умноже-

^{нию A}_i^{(X) на оператор сдвига Xr (см. свойство 5 ЦК).}

На практике предпочитают использование метода деления полино-

мов при построении кодеков, поскольку при этом имеется возможность представить кодовую комбинацию в виде разделенных информацион- ных и проверочных символов:

r

B_i (X) = A_i (X) X

+ R_i (X), (4.15)

^{где R}_i ^{(X) – остаток от деления A}_i ^{(X) Xr /G(X).}

^{В алгоритме (4.15) можно выделить три этапа формирования разре-}

шенных кодовых комбинаций в кодирующем устройстве:

1) к комбинации первичного кода A_i(X) дописывается справа r ну- лей, что эквивалентно умножению A_i (X) на X ^r;

2) произведение A_i(X) X ^r делится на соответствующий порождающий полином G(X) и определяется остаток R_i(X), степень которого не превы- шает r – 1, этот остаток и дает группу проверочных символов;

3) вычисленный остаток присоединяется справа к A_i (X) X ^r.

Пример

Рассмотрим процедуру кодирования по алгоритму (4.15): для кодо- вой комбинации А = 1001 сформировать кодовую комбинацию цикли- ческого кода (7,4).

В заданном ЦК n = 7, k = 4, r = 3, и из табл. 4.1 выберем порождаю- щий полином G(X) = X ³ + X + 1 (код Хемминга). Выполним три необхо- димые операции для получения кодовой комбинации ЦК согласно алго- ритму (4.15):

^A_i ^{(X) = 1001 ~ X3 + 1, (знак "~" – тильда – означает соответствие).}

1. A_i (X) X ^r = (X ³ + 1 ) X ³ = X ⁶ + X ³ ~ 1001000, (n = 7).

^{2. A}_i ^{(X) X r /G(X) = X 6 + X 3 X 3 + X + 1}

^{+ ——————}

X⁶ + X ⁴ + X ³ X ³ + X

——————

_X ⁴

+

X ⁴ + X ² + X

——————

X² + X – остаток R_i (X) = X ² + X ~ 110.

3. B_i (X) = A_i (X) X ^r + R_i (X) = 1001110 – итоговая комбинация ЦК.

Синдромный метод декодирования (СМД) предполагает в ДУ приня- тую кодовую комбинацию поделить на порождающий полином. Если принятая комбинация является разрешенной, т. е. не искажена помеха- ми в канале связи, то остаток от деления будет нулевым. Ненулевой остаток свидетельствует о наличии в принятой кодовой комбинации ошибок, остаток от деления и называется синдромом.

Термин "синдром" заимствован из медицинской практики (от греч. вместе бегущий) и означает сочетание (комплекс) симптомов болезни, характерное для определенного заболевания. В теории кодирования син- дром, который также называют опознавателем ошибки, обозначает со- вокупность признаков, характерных для определенной ошибки. Для ис- правления ошибки на стороне приема необходимо знать не только факт ее существования, но и ее местонахождение, которое определяется по установленному виду вектора ошибки z (X).

После передачи по каналу с помехами принимается кодовое слово

B_i (X) = B_i(X) + z (X), (4.16) где B_i(X) – передаваемая кодовая комбинация; z (X) – полином (вектор) ошибки, имеющий степень от 1 до n – 1.

При декодировании принятое кодовое слово делится на G(X)

_

^B_i ^{( X )}

_{G ( X )}

 U_i ( X )  S_i ( X ),

(4.17)

^{где остаток от деления S}_i ^{(X) и является синдромом.}

^{Если при делении получается нулевой остаток S}_i ^{(X) = 0, то выносит-}

^{ся решение об отсутствии ошибки z (X) = 0. Если остаток (синдром)}

ненулевой S_i (X)  0, то выносится решение о наличии ошибки и опре- деляется шумовой вектор (полином) z (X), а затем – передаваемое кодо- вое слово, поскольку из (4.16) следует

^B_i  ^X  ^{ B}_i^  ^X  ^{ z}  ^X ^,

(4.18)

Всякому ненулевому синдрому соответствует определенное распо- ложение (конфигурация) ошибок. Взаимосвязь между видом синдрома и местоположением ошибочного символа находится довольно просто. Достаточно в любую разрешенную кодовую комбинацию ввести ошиб- ку и выполнить деление на G(X). Полученный остаток (4.17) – синдром и будет указывать на ошибку в этом символе.

В качестве примера для ЦК Хемминга (7,4), позволяющего исправ- лять однократную ошибку при d_min = 3 (см. табл. 4.1), взаимосвязь меж- ду синдромом и ошибочным символом для двух возможных порождаю-

щих полиномов кода (7,4) приведена в табл. 4.2. Пользуясь этой табли- цей, можно найти местоположение ошибки и исправить ее.

Для параметров рассмотренного ранее примера, где была показана процедура кодирования кодовой комбинации A_i = 1001 при использова-

^{нии порождающего полинома G (X) = X3 + X +1 для кода Хемминга}

(7,4), исправляющего однократную ошибку, приведем в следующем примере процедуру декодирования принятой с помехой кодовой ком- бинации.

Пример

Принятая кодовая комбинация ЦК (7,4) имеет вид B_i(X) = 1011110. Определить и исправить ошибку в B_i(X), если она имеется.

Выполним три необходимые операции, проводимые при декодировании:

1) в соответствии с алгоритмом (4.17) производим деление

^B_i^{(X) / G(X) = X 6 + X 4 + X 3 + X2 + X X3 + X +1}

^{——————}

X ⁶ + X ⁴ + X ³ X ³

—————————

X ² + X – остаток R (X) = X ² + X ~ 110, отметим, что совпадение остатков в примерах 1 и 2 – чисто случайное,

^{в примере (с. 104) остаток являлся проверочной группой кода, а в при-}

мере (с. 106) – синдромом;

2) по полученному синдрому 110 в соответствующем опознавателе синдрома (дешифраторе синдрома, локаторе ошибки) определяем вид шумового вектора z (X) 0010000 (см. табл. 4.2);

3) воспользовавшись алгоритмом (4.18), исправляем принятую кодо- вую комбинацию B_i(X) и получаем переданную комбинацию B_i(X):

Таблица 4.2

№ символа комбинации со старшего разряда	Ошибочный символ полинома комбинации	Синдром для порож- дающего полинома G (X) = X 3 + X + 1	Синдром для порож- дающего полинома G (X) = X 3 + X 2 + 1	Шумовой вектор z (X)
7 6 5 4 3 2 1	X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 X 0	101 111 110 011  H к (7, 4) 100 010 001 см. (4.29)	110 011 111 101  H˜ к (7, 4) 100 010 001 см. (4.29)	1000000 0100000 0010000 0001000 0000100 0000010 0000001
	Нет ошибки	000	000	0000000

^B_i ^{(X) = B}_i^{(X ) + z (X) = 1011110}



0010000

————

1001110 – исправленная комби- нация на выходе ДУ с инвертированием неверно принятого символа.

Число проверочных символов r = n – k определяет число исправляемых ошибок. Значение r должно быть достаточным для получения необходимо- го числа синдромов S_ (опознавателей ошибок). Для исправления всех

^{одиночных (однократных) ошибок необходимо S}_ ^{= n + 1 синдромов, так}

^{как шумовой вектор может принимать следующие n значений:}

000...01, 000...10, ..., 001...00, 010...00, 100...00,

кроме того, необходим один синдром для определения факта безоши- бочного приема кодовой комбинации S₀ = 000...00. Таким образом, для двоичных кодов при необходимости исправления всех однократных оши-

бок требуется выполнение соотношения

^S_ ^{= 2}

n – k

= 2^r

= n + 1. (4.19)

Плотноупакованные коды – такое название получили коды, у кото-

рых соблюдается точное равенство В (4.19) числа необходимых синдро- мов для исправления ошибок заданной кратности. Вследствие уникаль-

ности таких кодов, плотноупакованные коды называют также "совер- шенными" или "оптимальными". К таким кодам относятся коды Хем- минга, которые при минимальном кодовом расстоянии d_min = 3 обеспе-

^{чивают исправление всех однократных ошибок, поскольку у классичес-}

ких кодов Хемминга число символов n = 2^r – 1 удовлетворяет условию

(4.19).

В общем случае при необходимости исправления всех независимых ошибок кратности до g_и включительно, требуемое число синдромов оп- ределяется выражением

_{S  1  C1  C 2}

_{ C 3  ...  C gи }

g_и

C ⁱ ,

^{ n n n n}

^{ n}

i  0

^(4.20)

n

^где Cⁱ

_ ^n!

_{(n  i)! i!}

n

^{– число сочетаний из n по i, причем} C ⁰

 1 ^{, так}

как 0! = 1.

С учетом (4.19) и (4.20) можно получить выражение для оценки чис- ла проверочных символов r при необходимости исправления g_и – крат- ных ошибок в принятых кодовых комбинациях

_{ gи }

_{r  log2}

_{  Ci .}

_(4.21)

_ ⁿ _

 ^{i  0} 

Занимаясь поиском плотноупакованных кодов ("кодов без потерь"),

М. Голей заметил (опубликовано в 1949 г.), что

23 23 23 23

C ⁰  C¹  C ²  C ³  1  23  253  1771  2¹¹,

а это означало, что существует плотноупакованный двоичный (23,12) код, удовлетворяющий условию (4.20), исправляющий все кодовые ком- бинации с тремя или менее ошибками. Этот код получил его имя.

Код Голея относится к классу ЦК с порождающими двойственными

(дуальными) полиномами (4.9):

_{G( X )  X} ¹¹ _{ X} ¹⁰ _{ X} ⁶ _{ X} ⁵ _{ X} ⁴ _{ X} ² _{ 1;}

G^˜ ( X )  X ¹¹  X ⁹  X ⁷  X ⁶  X ⁵  X  1.

Простым вычислением проверяется, что

(4.22)

X ²³  1 

( X  1) G ( X ) G^˜ ( X ),

в связи с чем в качестве порождающего полинома ЦК Голея (23, 12)

можно использовать как G (X), так и ^G˜  ^X  .

Код Голея, гарантированно исправляющий ошибки с кратностью не менее трех включительно, обладает минимальным кодовым расстояни- ем, d_min = 2g_и + 1 = 7, что, как правило, указывается в маркировке кода

^{(23, 12, 7). Добавление к этому коду общей проверки на четность по}

всем позициям увеличивает на единицу как общую длину кода, так и минимальное кодовое расстояние d_min = 8.

^{Расширенный код Голея, имеющий маркировку (24, 12, 8), состоит из}

12 информационных символов и 12 проверочных, т. е. представляет со- бой код, обладающий скоростью 1/2 и избыточностью, также равной 1/2.

Обратим внимание на то, что плотноупакованные коды Хемминга и Голея – циклические, которые принадлежат классу двоичных линейных кодов. Общим для линейных двоичных кодов является наличие, в каче- стве разрешенного, нулевого кодового слова 000...00, что приводит к тому, что минимальный вес W_min ненулевого разрешенного кодового сло-

^{ва равен минимальному кодовому расстоянию d}_min ^(4.13).

^{В общем случае вес кодовых комбинаций может принимать различ-}

ные значения, и совокупность чисел кодовых комбинаций с постоян- ным весом N_W определяют как распределение весов кода или как спектр весов кода. Распределение весов в коде Голея (23, 12, 7) следующее:

N₀ = N₂₃ = 1; N₇ = N₁₆ = 253; N₈ = N₁₅ = 506; N₁₁ = N₁₂ = 1288, а в расширенном коде Голея –

N₀ = N₂₄ = 1; N₈ = N₁₆ = 759; N₁₂ = 2576. (4.23) Кодовые слова с весом 12, 8 и 16, выделенные из кода (24,12,8),

образуют КПВ максимальной мощности.

К сожалению, кроме кодов Хемминга (d_min = 3, g_и =1) и кода Голея (23, 12, 7) пока не найдено других совершенных, плотноупакованных кодов, число синдромов у которых точно соответствует требуемому зна-

чению для гарантированного исправления ошибок заданной кратности.