1.4. Корректирующие коды Хемминга

Построение кодов Хемминга базируется на принципе проверки на четность веса W (числа единичных символов) в информационной груп- пе кодового блока.

Поясним идею проверки на четность на примере простейшего кор- ректирующего кода, который так и называется кодом с проверкой на четность или кодом с проверкой по паритету (равенству).

В таком коде к кодовым комбинациям безызбыточного первичного двоичного k-разрядного кода добавляется один дополнительный разряд (символ проверки на четность, называемый проверочным, или конт- рольным). Если число символов 1 исходной кодовой комбинации чет- ное, то в дополнительном разряде формируют контрольный символ 0, а если число символов 1 нечетное, то в дополнительном разряде форми- руют символ 1. В результате общее число символов 1 в любой переда- ваемой кодовой комбинации всегда будет четным.

Таким образом, правило формирования проверочного символа сво- дится к следующему:

^r₁ ^{= i}₁ ^{ i}₂ ^{ ...  i}_k ^,

где i – соответствующий информационный символ (0 или 1); k – общее их число а под операцией "" здесь и далее понимается сложение по mod 2. Очевидно, что добавление дополнительного разряда увеличива- ет общее число возможных комбинаций вдвое по сравнению с числом комбинаций исходного первичного кода, а условие четности разделяет все комбинации на разрешенные и неразрешенные. Код с проверкой на четность позволяет обнаруживать одиночную ошибку при приеме кодо- вой комбинации, так как такая ошибка нарушает условие четности, пе- реводя разрешенную комбинацию в запрещенную.

Критерием правильности принятой комбинации является равенство нулю результата S суммирования по mod 2 всех n символов кода, вклю-

чая проверочный символ r₁. При наличии одиночной ошибки S прини- мает значение 1:

^{S = r}₁ ^{ i}₁ ^{ i}₂ ^{ ...  i}_k ^{=  0 – ошибки нет,}

, ,

n

= 1 – однократная ошибка.

Этот код является (k +1, k)-кодом, или (n, n–1)-кодом. Минимальное расстояние кода равно двум (d_min = 2), и, следовательно, никакие ошиб- ки не могут быть исправлены. Простой код с проверкой на четность

может использоваться только для обнаружения (но не исправления) од- нократных ошибок.

Увеличивая число дополнительных проверочных разрядов и форми- руя по определенным правилам проверочные символы r, равные 0 или

1, можно усилить корректирующие свойства кода так, чтобы он позво- лял не только обнаруживать, но и исправлять ошибки. На этом и осно- вано построение кодов Хемминга.

Коды Хемминга позволяют исправлять одиночную ошибку, с помощью непосредственного описания. Для каждого числа проверочных символов r = 3, 4, 5… существует классический код Хемминга с маркировкой

(n, k) = (2^r–1, 2^r–1 – r) , (3.20)

т. е. (7,4), (15,11), (31,26) …

При других значениях числа информационных символов k полу- чаются так называемые усеченные (укороченные) коды Хемминга. Так, для Международного телеграфного кода МТК-2 , имеющего

5 информационных символов, потребуется использование коррек- тирующего кода (9,5), являющегося усеченным от классического кода Хемминга (15,11), так как число символов в этом коде уменьшается (укорачивается) на 6. Для примера рассмотрим классический код Хемминга (7,4), который можно сформировать и описать с помо- щью кодера, представленного на рис. 3.2. В простейшем варианте при заданных четырех (k = 4) информационных символах (i₁, i₂, i₃,

ⁱ₄^{) будем полагать, что они сгруппированы в начале кодового сло-}

^{ва, хотя это и не обязательно. Дополним эти информационные сим-}

волы тремя проверочными символами (r = 3), задавая их следую- щими равенствами проверки на четно сть, которые определяются соответствующими алгоритмами [3,5]:

r₁ = i₁  i₂  i₃; i₂ = i₂  i₃  i₄; r₃ = i₁  i₂  i₄,

где знак  означает сложение по модулю 2.

В соответствии с этим алгоритмом определения значений провероч- ных символов r_i ниже выписаны все возможные 16 кодовых слов (7,4) – кода Хемминга (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Кодовые слова (7 ,4) – кода Хемминга

На рис. 3.3 приведена схема декодера для (7,4) – кода Хем-

_{минга, на вход которого посту-}

i1	i2	i3	i4	r1	r2	r3
0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	1	0	1	1
0	0	1	0	1	1	0
0	0	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	1
0	1	0	1	1	0	0
0	1	1	0	0	0	1
0	1	1	1	0	1	0
1	0	0	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	0
1	0	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	0	0
1	1	0	0	0	1	0
1	1	0	1	0	0	1
1	1	1	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1	1

к = 4

r = 3

пает кодовое слово

V  _i₁^, i₂^ , i₃^ , i₄^ , r₁^, r₂^, r₃^ _.

Апостроф означает, что лю- бой символ слова может быть искажен помехой в канале пе- редачи.

В декодере в режиме ис- правления ошибок строится последовательность:

s₁  r₁^  i₁^  i₂^  i₃^ ; s₂  r₂^  i₂^  i₃^  i₄^ ; s₃  r₃^  i₁^  i₂^  i₄^ .

Трехсимвольная последова- тельность (s₁, s₂, s₃) называется синдромом. Термин "синдром"

используется и в медицине, где он обозначает сочетание призна-

ков, характерных для определенного заболевания. В данном случае син- дром S = (s₁, s₂, s₃) представляет собой сочетание результатов проверки на четность соответствующих символов кодовой группы и характеризу-

ет определенную конфигурацию ошибок (шумовой вектор).

Число возможных синдромов определяется выражением

S = 2^r. (3.21)

4-символьное информационное слово

7-символьное кодовое слово

_i

1

^{От ИС} _i

2

_i

1

_i

² _{К моду-}

ⁱ_{3 i}

3

₄

_{i i}

₄

лятору

Сумматор по модулю 2

Сумматор по модулю 2

_r

i i , i

1

^{1 + 2 + 3} _r

2

_r

3

₂ ⁺ ₃ ⁺

i i , i₄

Сумматор по модулю 2

_{i + i , + i}

1 2 4

_{Рис. 3.2}

7-символьное кодовое слово

4-символьное информационное слово

₊

_i

1

ⁱ2 ⁺

_i

1

ⁱ₂ ^{К ПС}

_i

3

^{От демо-} _i

^{дулятора 4}

_r

1

_r

Сумматор по модулю 2

Ошибка в i , i , i ,

₊ ⁱ3

₊ ⁱ⁴

Цифровой корректор

Сумматор по модулю 2

₁

² 1 2 3

ошибок

_r

3

Сумматор по модулю 2

^{или r}

₂

^{Ошибка в i}₂^{, i}₃^{, i}₄^{, r}

Сумматор по модулю 2

Ошибка в i₁, i₂, i₄, или r₃

Рис. 3.3

При числе проверочных символов r = 3 имеется восемь возмож- ных синдромов (2³ = 8). Нулевой синдром (000) указывает на то, что ошибки при приеме отсутствуют или не обнаружены. Всякому ненулевому синдрому соответствует определенная конфигурация ошибок, которая и исправляет ся. Классиче ские коды Хемминга (3.20) имеют число синдромов, точно равное их необходимому чис- лу (что позволяет исправить все однократные ошибки в любом ин- формативном и проверочном символах) и включают один нулевой синдром. Такие коды называются плотноупакованными.

Усеченные коды являются неплотноупакованными, так как число синдромов у них превышает необходимое. Так, в коде (9,5) при четы- рех проверочных символах число синдромов будет равно 2⁴ =16, в то время как необходимо всего 10. Лишние 6 синдромов свидетельству- ют о неполной упаковке кода (9,5).

Для рассматриваемого кода (7,4) в табл. 3.2 представлены ненулевые синдромы и соответствующие конфигурации ошибок.

Таблица 3.2

Синдром	001	010	011	100	101	110	111
Конфигурация ошибок	0000001	0000010	0001000	0000100	1000000	0010000	0100000
Ошибка в символе	r3	r2	i4	r1	i1	i3	i2

Таким образом, код (7,4) позволяет исправить все одиночные ошиб- ки. Простая проверка показывает, что каждая из ошибок имеет свой единственный синдром. При этом возможно создание такого цифрово- го корректора ошибок (дешифратора синдрома), который по соответ- ствующему синдрому исправляет соответствующий символ в принятой кодовой группе. После внесения исправления проверочные символы r_i

^{можно на выход декодера (рис. 3.3) не выводить. Две или более ошибок}

превышают возможности корректирующего кода Хемминга, и декодер будет ошибаться. Это означает, что он будет вносить неправильные ис- правления и выдавать искаженные информационные символы.

Идея построения подобного корректирующего кода, естественно, не меняется при перестановке позиций символов в кодовых словах. Все такие варианты также называются (7,4)-кодами Хемминга.

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

В лабораторной работе исследуется усеченный код Хемминга (9,5). Длина кодового слова n = 9 разрядов, информационная часть содержит k = 5 разрядов, количество проверочных разрядов r = 4. Соответствую- щие алгоритмы проверки на четность рассматриваемого кода имеют вид

r₁ = i₂

r₂ = i₁

r₃ = i₂

 i,₃

 i₃

 i₄

 ,i₄

 i₅

(3.22)

r₄ = i₁

i i,₂  ₅

а алгоритм вычисления символов синдрома:

s₁ = i₂

s₂ = i₁

 i₃

 i₃

, r₁

 i₄

, r₂

s₃ = i₂

 i₄

 i₅

 r₃

(3.23)

s₄ = i₁

 i₂

 i₅ . r₄

Данный код имеет минимальное кодовое расстояние d_min= 3, следо- вательно, теоретически он исправляет все однократные ошибки. Все одно- и двухкратные ошибки обнаруживаются.

Для выполнения лабораторной работы необходимо выбрать соответ- ствующую позицию в основном меню и нажать клавишу < ENTER >, которую в дальнейшем необходимо нажимать при переходе от пункта к пункту.

1. Начинать выполнение лабораторной работы следует при появле- нии в нижней строке экрана указания:

< Введите кодируемые символы >

2. В ответ на это указание необходимо ввести от одного до пяти алфавитно – цифровых символов, допустимых для кода МТК-2. Число введенных символов должно быть равно числу членов бригады. Они автоматически закодируются безызбыточным кодом МТК-2, кодовые сло- ва которого печатаются на экране. Нажатие клавиши < ESC > означает отказ от выполнения работы.

3. Кодовые слова безызбыточного кода МТК-2 необходимо закодиро- вать корректирующим кодом (9,5), руководствуясь алгоритмом (3.22).

Информационный вектор i, очевидно, представляет собой кодовое сло- во кода МТК-2. Полученные векторы x кода (9,5) (кодовые слова) не- обходимо ввести, набрав их на клавиатуре.

4. В кодовые слова x кода (9,5) автоматически вносятся однократ- ные ошибки, в результате чего формируются некоторые векторы y, не совпадающие с соответствующими векторами x.

Необходимо, пользуясь алгоритмом (3.23), определить синдром S и ввести его символы с клавиатуры. В соответствии с вычисленным век- тором S в таблице декодирования автоматически отыскиваются шумо- вые векторы z и отображаются на экране. Необходимо проанализиро- вать их и убедиться в том, что ненулевая позиция в этих векторах соот- ветствует искаженным разрядам в векторах y, т. е. соотношение x = z  y справедливо.

5. Далее, в кодовые слова x кода (9,5) автоматически вносятся двух- кратные ошибки, т. е. вновь формируются векторы y, не равные соот- ветствующим векторам x. Необходимо повторить действия предыдуще- го пункта. При анализе шумовых векторов z необходимо учитывать, что таблица декодирования исследуемого в лабораторной работе кода со- держит только синдромы, соответствующие однократным ошибкам z_i.

^{Поэтому возможны две ситуации:}

вычисленному синдрому S_i в таблице не соответствует никакой шу- мовой вектор z_i. В этом случае на экране будут напечатаны символы (*******).

вычисленному синдрому S_i в таблице соответствует некоторый век- тор z_i. В этом случае необходимо убедиться в том, что он неправильно отображает реальную конфигурацию ошибок.

Рассмотрим пример, поясняющий ход выполняемых операций. Пусть выбран и введен Ф, ему соответствует кодовое слово кода МТК-

2: i = 10110. Таким образом, на экране отобразится следующая ин- формация:

Символ Код МТК-2

Ф 10110

В результате применения алгоритмов (3.22) получим вектор x кор- ректирующего кода (9,5), который и необходимо ввести.

Таким образом, получим вектор x = (101101111), и изображение на экране примет вид

Символ	Код МТК-2	Код (9,5)
Ф	10110	01101111

Далее, в вектор x вносится однократная ошибка, т. е. получается вектор y, не совпадающий с x, например: y = (101001111), и на экране будет следующее изображение:

Символ	Код МТК-2	Код (9,5)	Искажения
Ф	10110	101101111	101001111

Декодируем вектор y, пользуясь алгоритмом (3.23), т. е. определя- ем синдром S, который необходимо ввести. Вычисленный синдром S

= 0110.

Полученный синдром вводится в приведенную выше таблицу, кото- рая примет вид

имвол	Код МТК-2	Код (9,5)	Искажения	Синдром
Ф	10110	101101111	101001111

С

Вычисленному синдрому соответ ствует шумовой вектор Z = (000100000), т. е. ошибка произошла в шестом разряде (при счете разрядов справа – налево) исходного вектора x. На экране появится следующее изображение:

_{Шумовой}

имвол	Код МТК-2	Код (9,5)	Искажение	Синдром	вектор
Ф	10110	101101111	101001111	0110	000100000

^С

Далее, в вектор x вносится двухкратная ошибка, т. е. опять получа- ется вектор y, не совпадающий с x, например: y = (100001111). На экра- не будет предъявлена следующая таблица:

Символ	Код МТК-2	Код (9,5)	Искажение
Ф	10110	101101111	10001111

Вновь декодируем вектор y, пользуясь алгоритмом (3.23), т. е. опре- деляем синдром S, который необходимо ввести.

Полученный синдром:

имвол	Код МТК-2	Код (9,5)	Искажение	Синдром
Ф	10110	101101111	100001111	1010

С

Таким образом, в результате декодирования получен ненулевой син- дром. Однако в таблице декодирования ему может не соответствовать никакой шумовой вектор, поэтому изображение на экране примет вид

_{Шумовой}

имвол	Код МТК-2	Код (9,5)	Искажение	Синдром	вектор
Ф	10110	101101111	100001111	1010	********

С

Код (9,5) с d_min = 3 не справляется с исправлением двукратной ошибки. На этом выполнение лабораторной работы заканчивается. Представ- ление отчета не требуется. Факт выполнения бригадой лабораторной

работы, включая количество попыток по пунктам фиксируется в спе- циальном файле на диске.