5.8. Застосування похідної для дослідження динаміки функції

5.8.1. Основні задачі

В итрати виробництва K залежать від обсягу продукції х за формулою К(х) = – 0,05х³ + 3375х + 200. При яких значеннях х витрати виробництва почнуть спадати?

• Знайдемо похідну = – 0,15х² + 3375. Витрати спадають, коли < 0, тобто – 0,15х² + 3375 < 0. Звідси – 0,15х² + 3375 > 0 або х² – 22500 > 0. Нерівність виконується, якщо х < – 150 або х > 150. За умовою задачі х < 0 не може бути розв’язком. Отже, витрати виробництва починають спадати при обсягах х > 150.

Темп зростання функції. Розглянемо функцію y = f (x). Швидкість її зміни визначається, як відомо, похідною .

Відносною швидкістю або темпом зростання функції називається відношення . Водночас .

Отже, темп зростання функції дорівнює її логарифмічній похідній. Наприклад, якщо , то темп зростання функції становить 51 %.

( Граничні витрати виробництва). Нехай витрати K(х) виробництва однорідної продукції є функція від кількості х цієї продукції, тобто K = K(x). Припустимо, що кількість продукції змінюється на , причому продукції відповідають витрати виробництва . Тоді приросту кількості продукції відповідає приріст витрат виробництва. Відношення є приріст витрат виробництва на одиницю приросту кількості продукції. Границя називається граничними витратами виробництва.

Г раничний виторг. Нехай відома функція , якою подається ціна товару. Тоді добуток цієї функції на попит є виручка U(x). Границю називаються граничним виторгом.

З алежність фінансових зборів  від обсягу продукції х виражається формулою . При яких значеннях обсягу х фінансові збори почнуть зростати?

• Похідна . Звідси х > 100. Це означає, що коли обсяг продукції перевищує 100 грн., фінансові збори зростають.

Функцію попиту на будь-який товар можна подати у вигляді , де р — ціна товару; q — відповідний попит. Загальні витрати населення на цей товар становлять U = pq грн., а граничний виторг

.

Еластичність попиту щодо ціни подається у вигляді . Підставивши значення Е_с у формулу для , дістанемо вираз , з якого випливають такі висновки.

1. Якщо Е_с > 1, то . Отже, у разі еластичного попиту з підвищенням ціни виторг від продажу товару знижується.

2. Якщо Е_с =1, то = 0 Це означає, що коли попит найтральний, виторг від продажу даного товару не залежить від зміни ціни. Тоді q p =c, звідки де . Отже, за нейтрального попиту його розміри обернено пропорційні до ціни.

3. Якщо 0 < Е_с < 1, то 0. Якщо попит нееластичний, то з підвищенням ціни виторг зростає.

Н ехай виконуються такі умови: 1) технологія виробництва не змінилася, причому основні виробничі фонди використовуються повністю; 2) K — розміри основних фондів у період t; 3) Q — обсяг виробництва предметів споживання з використанням цих фондів; 4) = β Q(t); β > 0 — залежність розміру основних фондів від обсягу виробництва предметів споживання; 5) — закон зміни приросту основних фондів за одиницю часу. З економіки відомо, що приріст основних фондів за одиницю часу є результатом капіталовкладень І; 6) — залежність капіталовкладень у період t від обсягу виробництва.

Подамо математичний аналіз принципу акселерації у вигляді таблиці.

МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ ПРИНЦИПУ ПРИСКОРЕННЯ, АБО АКСЕЛЕРАЦІЇ

Показник	Період часу
	0 > t > t1		t = t1		t > t1
1. Обсяг виробництва предметів споживання K(t)	Зростає швидше		Зростає сталим темпом		Зростає повільно
2. Приріст випуску предметів споживання dQ/dt
3. Похідна капітало­вкладень:
4. Капіталовкладення	Зростають		Утримуються на рівні І(t1)		Cпадають
Висновки
Якщо попит на предмет споживання зростає, то зростають і капіталовкладення І, тобто зростає попит на засоби виробництва		Утримати капіталовкладен­ня на рівні, що дoсягнeний в момент t, можна, якщо по­пит на предмет споживання зростає сталим темпом		Якщо попит на предмети споживання починає зростати по­вільніше, то зменшують і капіталовкладення І, тобто спадає попит на засоби виробництва

Н ехай сумарні витрати на виробництво х одиниць продукції подаються у вигляді К(х) = 0,01х² + 10х + 400. Залежність між ціною р і кількістю х продукції, яку можна продати за цією ціною, така: р(х) = 46 – 0,05х. При якому х прибуток підприємства буде максимальний і який розмір цього прибутку?

• Якщо відомі ціна та кількість продукції, то виручка

U(х) = x p(x) = 46x – 0,05x².

Прибуток подається у вигляді: R(x) = U(x) – K(x) = xp(x) – K(x), де K — повні витрати з виробництва х одиниці продукції. Прибуток максимальний, якщо i . Звідси випливає, що , або . Отже, підприємство може одержати максимальний прибуток за такого обсягу х виробництва, при якому гранична виручка дорівнює граничним витратам.

З умови випливає, що або . Оскільки , то:

, або .

Це означає, що підприємство отримує максимальний прибуток, коли темп зростання граничної виручки менший за темп зростання граничних витрат.

(

Мінімальність транспортних витрат). Із пункту А, що розташований на залізничній магістралі, вантажний потяг прямує до пункту С, який міститься на відстані СВ = l км від лінії залізничної колії. Вартість перевезення одиниці ма­си вантажу на одиницю відстані становить α залізницею і β у разі транспортування по шосе.

На якій відстані від В має розміщуватися пункт С, щоб перевезення вантажу із А в С шляхом АМС було найдешевшим?

• Позначимо відстань між довільною точкою М і точкою В через х. Тоді відстань між точками А і М буде d – х, а між точками М і С — . Оскільки транспортні витрати пропорційні до відстані, то вартість перевезення одиниці маси вантажу подається так:

.

Значення функції K(х) буде мінімальним, якщо , а .

Обчислюємо похідні:

Із виразу для випливає, що при будь-якому х, .

Розглянемо коефіцієнт . Тоді .

γ			Kmin	Висновок
γ  1			х = d	Вигідніше починати шосе у пункті А
γ < 1				Пункт М має розміщуватися на відстані від В. Вигіднішою частиною шляху везти вантаж по шосе, причому під деяким кутом до залізничної колії

5.8.2. Економічне застосування диференціала. Мультиплікатор

Розглянемо найпростішу модель, яка описує динаміку зростання прибутку залежно від інвестицій:

,

де Y — прибуток; С — споживання; І — інвестиції.

Нехай, . Як впливає зміна інвестицій dI на прибуток?

 Нехай . Із рівняння — знайдемо залежність між інвестиціями і швидкістю зростання прибутку:

,

477