§ 1. Развитие у детей представлении о множестве1

Уже в раннем возрасте у детей накапливаются представления о совокупностях, состоящих из однородных предметов: «Много кукол», «Три кубика», «Пять пальчиков на руке». Эти пер-

56

вые представления начинают обобщаться, отражаясь сначала в пассивной речи детей. Так, исследования показывают, что ребе­нок 1 года 3 мес. выполняет задание построить «маленький до­мик» или «маленькие домики», «большой домик» или «большие домики», принести «вагончик» или «вагончики», посадить «цве­ток» или «цветочки» (Л. Г. Калинина, В. В. Данилова и др.).

Малыш 1 года 6 мес., овладевая активной речью, называет отдельные предметы или их совокупности, пользуясь единствен­ным и множественным числом имен существительных: «Это ку­бик, это кубики»; «Домик—домики»; «Кукла — куклы»; «Дя­дя J_ дяди» и т. д. Детей этого возраста привлекают группы од­нородных предметов (шарики, пуговицы, кольца и др.). Они перебирают их, перекладывают, рассыпают, вновь собирают, раскладывают на столе по горизонтали, в виде кривой линии. Дети любят захватить много предметов в руку и, разжимая пальчики, наблюдать, как они рассыпаются (например, пугови­цы). Восприятию множественности предметов, явлений способ­ствует все окружение ребенка — множество людей, знакомых и незнакомых, множество двигающихся перед глазами ребенка предметов (дома, деревья, транспорт), однородно повторяющие­ся звуки, т. е. однородные шумы и звуки (тикающие часы, их бой). Разнообразие множественности предметов и явлений ребе­нок воспринимает различными анализаторами: слуховым, зри­тельным, кинестетическим и др. Он сам многократно произво­дил однородные движения: бросал из манежа одну и ту же игрушку, стучал ложкой по столу и т. д. Все эти виды однород­ных действий, впечатлений оставляли следы в коре головного мозга, суммировались. По этому поводу И. М. Сеченов писал: «...Частое повторение так называемых однородных воздействий должно вести за собой обособление той суммы путей, которая соответствует постоянным элементам впечатлений» ¹.

Первоначальное формирование представления о множествен­ности предметов и об их отдельности и создает основу для раз­личения детьми единственного и множественного числа имен существительных и прилагательных и раннее усвоение этой грам­матической формы при развитии речи.

В математике дается следующее определение понятия мно­жества: «Множество—это совокупность объектов, рассматрива­емых как одно целое»². Множества рассматриваются как ко­нечные, так и бесконечные. Маленькие дети имеют дело лишь с конечным множеством.

У ребенка па первых ступенях развития представление о мно­жестве еще весьма диффузно: оно не имеет четких границ и не

57

воспринимается элемент за элементом. Такое восприятие харак­теризует скорее неопределенную множественность, а не множе­ство как структурно-целостное единство; не осознается еще точ­но и количественная его сторона. Например, ребенок радуется, видя много одинаковых маленьких кукол или разноцветных пу­говиц в коробке. Однако, взяв несколько экземпляров, он тут же забывает об остальных. Маленькие дети не замечают также, если число элементов множества уменьшается и часть их исчезает. Этот уровень представления о множественности соответствует использованию в речи окончаний слов в единственном и множе­ственном числе: в них ведь не отражается точный количествен­ный состав.

Представление о неопределенной множественности характер­но для детей в возрасте до двух лет. В этом легко убедиться на таких жизненных примерах: ребенку предлагают убрать все ку­бики в коробку или собрать на столе все ложки и отнести их няне. Ребенок же ограничивается лишь тем, что убирает не­сколько кубиков или относит несколько ложек и считает задание выполненным («Ты все кубики убрал?» — «Все»,—отвечает он). Слово в-с-е для взрослого означает совокупность множества как структурно-целостного единства, а для ребенка слово все означает некую неопределенную множественность.

Дети трех лет часто уже воспринимают множество в его гра­ницах, однако четкое восприятие всех элементов множества еще отсутствует и у них, они не умеют следить за каждым эле­ментом множества.

Отсюда вытекает первый вывод: необходимо у маленьких де­тей сформировать представление о множестве как структурно-целостном единстве и научить видеть и четко воспринимать каж­дый элемент множества. Этому и нужно посвятить обучающие занятия в группах детей третьего и четвертого года жизни.

Однако переход от восприятия неопределенной множествен­ности к восприятию множества как структурно замкнутого цело­го является длительным процессом и имеет несколько этапов. Один из первых — это этап формирования множества как конеч­ного. На этом этапе внимание ребенка сосредоточивается глав­ным образом на «границах множества». Например, ребенку пред­лагают раздать тарелки всем пяти куклам, стоящим в ряд, или накормить их всех. Ребенок кормит лишь первую и пятую, не обращая внимания на промежуточные между ними. Однако он твердо убежден, что накормил всех. То же самое он делает, когда ему предлагается на карточку с четырьмя нарисованными в ряд грибками наложить грибки. Он закрывает грибками лишь крайние картинки: первую и четвертую, при этом задание свое ребенок считает выполненным полностью.

Подобные факты свидетельствуют, что для детей главным на этом этапе становится восприятие границ множества и действен­ное их обозначение.

58

В чем же причина возникшей перед ребенком трудности? Де­ло в том, что при восприятии множественности ребенок всегда действовал от какой-либо одной точки отсчета, например начи­нал от середины и раскладывал предметы в обе стороны от нее. Теперь, при восприятии структурно-целостного множества, по­явились две точки отсчета, и действия его изменились от концов к середине, как показывают наблюдения за движениями его рук и глаз. Изменившийся характер движения свидетельствует о пе­рестройке восприятия множества. Восприятие двух «конечных точек» множества стало главным, существенным для ребенка.

Концентрация внимания детей на границах множества есте­ственно ослабила внимание к восприятию всего состава элемен­тов: остальные элементы множества, кроме конечных, как бы не замечаются детьми.

Отсюда следует вывод: необходимо новое побуж­ден невзрослого, чтобы дети восприняли все промежуточные элементы множества между крайними. Однако это не сразу дается ребенку. Обычно при задании наложить предметы на рисунки, расположенные в ряд, ребенок начинает заполнять всю часть карточки между край­ними элементами, не накладывая каждый предмет на рисунок, а тесно прижимая предметы друг к другу, т. е. дети просто запол­няют площадь между крайними элементами, а не воспроизводят еще количество элементов. Точности воспроизведения элементов множества не всегда помогает и показ. Это свидетельствует о том, что восприятие количественного состава множества еще весьма диффузно.

Что же касается подражания показу, то известно, что форми­рование двигательного навыка путем подражания представляет еще большие трудности для маленького ребенка. Недостаточ­ность двигательного опыта, отсутствие необходимых зрительных и кинестетических связей приводят к тому, что зрительные впе­чатления еще не всегда могут вызвать у детей нужные двига­тельные ассоциации (А. В. Запорожец, Г. А. Кислюк и другие.).

Очень важно иметь в виду и следующие факты, вскрытые в исследованиях. При восприятии множественности дети исходят в своих движениях из одной точки, чаще всего расположенной ' центре множественности. Такому восприятию способствует собственная структура тела, в частности сагиттальное направле­ние рук (направо и налево). Дети обычно так и размешают предметы: направо — правой рукой, налево — левой рукой. При восприятии множеста как структурно-целостного единства по­являются уже две точки отсчета в движениях рук и глаз: от гра­ниц множества к его центру. Помережетого как дети осваивают эта две точки, исчезает необходимость фиксировать их обе. Действие начинается от одной из точек, а вторая уже не обозна­чается, но ребенок не выходит за границы площади между эти­ми двумя точками. При этом, если начальной точкой становится

59

правая граница множества, действие производится правой рукой справа налево и, наоборот, если начальная точка — левая гра­ница множества, ребенок действует левой рукой слева направо по всему ряду. Подобный стереотип движения складывается с двух-трех лет и сохраняется весьма долго. А поскольку правая рука с возрастом становится все более активной, характер дви­жения правой руки и глаз справа налево становится все более устойчивым. Нередко он сохраняется и в школьном возрасте, о чем можно судить по многим характерным ошибкам в распо­ложении букв в слове мама (ам-ам], в записи арифметических примеров 7 — 9 — 2; ошибки в решении примеров, какие приво­дятся А. С. Пчелко: 83 — 67 — 24; 52 — 28 =-36; 12 — 8 = 16 и мн. др. «А куда идет работающая рука, туда же идут сведен­ные друг с другом зрительные оси глаз» ',— пишет И. И. Сеченов,

Отсюда следует вывод: необходимо своевременно формировать движение правой руки и глаз слева направо в соответствии с пространст­венным расположением нашей письменности.

множества, распо­ложенного в виде числовой фигуры.

Своеобразие методике обучения арифметике издавна воз-восприятия детьми никал вопрос о роли числовых фигур в форми­ровании числа ².

Защитниками числовых фигур, как прави­ло, были сторонники симультанного восприя­тия множества маленькими детьми. Они доказывали, что целост­ное восприятие группы доступнее, если кружки расположены не в ряд, а .им придана какая-либо форма (В. А. Лай, Фолькель, Д. Л. Волковский, Л. В, Глаголева, Ф. Н. Блехер и другие).

Каковы же особенности восприятия маленьким ребенком множества, расположенного в ряд или в виде числовой фигуры, и в чем заключается различие?

Исследование этого вопроса показало, что пространственная замкнутость множества в числовой фигуре действительно боль­ше способствует восприятию множества как структурно-целост­ного единства, чем линейное его расположение. Даже самые ма­ленькие дети, видя на карточке три, четыре, пять нарисованных пуговиц, расположенных в виде числовой фигуры, обычно берут одной рукой горсть пуговиц из коробки и высыпают их на кар­точку. Более старшие дети пытаются накладывать пуговицы на их изображения, но далеко не всегда в том же количестве; они заполняют и промежутки между отдельными рисун­ками. Следует отметить, что движения рук и глаз детей иные, чем при воспроизведении линейно расположенного множества. Как правило, дети в данном случае, накладывая пуговицы на

² Числовыми фигурами называются карточки, на которых ;о или иное ко­ личество-фигур • располагается в разных формах. Разные авторы предлагали различные формы расположения (см. Лаевскне квадратные фигуры).

60

рисунки, действуют одной рукой. Если ребенок раскладывает пуговицы правой рукой, он обычно начинает от нижнего рисунка справа и направление его движения идет по кругу против часо­вой стрелки. Если же раскладывание пуговиц проводится левой рукой оно начинается тоже обычно с нижней пуговицы слева и направление движения идет по часовой стрелке.

Эти особенности движения позволяют считать, что множест­во, изображенное в виде числовой фигуры, действительно вос­принимается детьми как единое замкнутое целое, хотя, как и при линейном расположении, оно не воспроизводится в адекватном количестве. Однако сравнительное сопоставление данных о вос­произведении количества элементов при линейном расположе­нии множества н в виде числовой фигуры свидетельствует о пре­имуществах линейного расположения. Чем меньше дети, тем большее значение для восприятия количества приобретает ли­нейное расположение множества. Пользуясь приемом наложе­ния пуговиц на рисунки, дети в возрасте 1 года 6 мес.— 2 года точнее воспроизводят множество, расположенное в ряд {75% против 50% при расположении в числовой фигуре). К трем го­дам эти показатели выравниваются, так как дети усваивают прием наложения.

Итак: расположение элементов в виде квадрата или треуголь­ника действительно способствует симультанному восприятию множества как единого пространственно замкнутого целого, од­нако эта более сложная форма расположения значительно за­трудняет выделение отдельных элементов. Для обучения же счетной операции самым важным является четкое выделение всех элементов множества.

Отсюда вытекает педагогический вывод: на начальных ступенях обучения счетной операции путем установления между элементами множеств взаимно-однозначного соответствия целесо­образно располагать ту или иную совокуп­ность предметов линейно.

Роль цвета элементов при восприятии множества, расположенного в виде числовой фигуры.

На ранних этапах развития ребенок не замечает какого цвета элементы: он берет пуговицы любого цвета и раскладывает их от середины в обе стороны. Но как только он начинает

воспринимать множество в его границах, то становится более требовательным к однородному составу эле­ментов. Это также свидетельствует об изменениях, происходя­щих в характере его восприятия. В тех случаях, когда ребенок случайно берет пуговицу другого цвета, он, взглянув на множе­ство как целое, исправляет свою ошибку. Он по собственной Ини­циативе обменивает некоторые пуговицы, чтобы все в его мно­жестве были одинакового цвета. Эта требовательность к одно­родности множества проявляется при любом расположении, при­чем стремление создать однородное по цвету элементов множе-

61

ство в числовой фигуре появляется у детей раньше, чем при линейном расположении, хотя численность элементов продолжа­ет оставаться и здесь слабодифференцированной.

Тенденция к созданию множества, состоящего из качествен­но одинаковых элементов, с возрастом все увеличивается и ста­новится уже независимой от формы расположения. Так, для де­тей пяти лет и старше множество всегда конечно и всегда состоит из одинаковых по качеству элементов. Поэтому в тех случаях, когда в линейно расположенном множестве первые три элемен­та красного цвета, а следующие три элемента синего цвета, дети воспринимают его как два различных множества. Признаком однородности конечного множества на данном этапе развития чаще всего является цвет, т. е. признак качества элементов. Но однородность элементов множества может быть выражена не только различными качественными признаками (цветом, раз­мером, формой), но и видовыми, родовыми признаками.

Отсюда одна из задач последующего обучения должна со­стоять в том, чтобы, не нарушая основного признака множества и помня, что множество есть совокупность однородных элемен­тов, расширять представление детей об однородном составе эле­ментов. Это можно сделать, вводя родовые понятия, например множество игрушек, элементами которого будут кукла, мишка, пирамидка, кубик, машина и т. д.

Вводя в обучение различные по характеру множества, надо учить группировать элементы множества по различным призна­кам, развивая при этом самостоятельность детей.

Например, различные предметы, составляющие множество игрушек, могут войти в другое множество, элементы которого сгруппированы по признаку цвета: красный круг, красный кубик, красный флажок, красный квадрат, красная пирамидка и т. д.

Упражнения в подобной группировке множеств по тому или иному признаку помогают детям, с одной стороны, овладеть классификацией, как одной из умственных операций, а с дру­гой — способствуют развитию понимания взаимосвязей между различными множествами, той или иной соподчиненности между Ними. Корни операции классификации и сериации ' «следует ис­кать не в понятиях и высказываниях, которыми оперирует речь, а в основных действиях соединения или упорядочивания, приме­няемых как к цельным объектам (непрерывное), так и к дискрет­ным ансамблям» ².

¹ Сериационным, или упорядочим множеством, называется множество, если для любых различных его элементов определено правило, по которому о'дин из этих элементов предшествует другому.

Дискретное множество — это множество, состоящее из раздельно пред­ставленных элементов, в отличие от непрерывного множества, например длины, Объема и др.

² Ж. П и а л; е и Б. И н е л ь д е р. Генезис элементарных логических структур. М., Изд-во иностр. лит., 1963, стр. 409.

62