А. М. ЛЕУШИНА

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У ДЕТЕЙ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА

Допущено Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для студентов педагогических институтов по специальности «Дошкольная педагогика и психология*

МОСКВА „ПРОСВЕЩЕНИЕ" 1974. М.

XXIV съезд Коммунистической партии Советского Союза по­ставил перед педагогической наукой и практикой, перед всей со­ветской общественностью ответственную задачу: обеспечить все­стороннее развитие подрастающего поколения. На решение этой задачи должны быть направлены силы всех советских педагогов, начиная с воспитателей детского сада.

В настоящее время уже все дети оканчивают восьмилетнюю школу, а в ближайшие годы молодежь будет получать полное среднее образование. Естественно, что изменились требования к выпускнику школы, изменились и цели обучения. Цель все­стороннего развития личности стала реальной конкретной за­дачей,

Преподавание математики в начальной школе, которое ранее сводилось в основном к тренировке вычислительных навыков, заучиванию правил выполнения арифметических действий без усвоения теоретических основ, не обеспечивало необходимого ло­гико-математического развития детей. В программах старших классов, например, отсутствовали такие важные для современ­ного образования разделы, как теория вероятностей, математи­ческая статистика, линейное программирование.

Во всестороннем развитии личности важное место принадле­жит умственному развитию, овладению приемами и способами умственной деятельности, совершенствованию познавательных способностей, сознательному усвоению знаний, формированию умений пользоваться ими для решения новых задач. Необходи­мость умственного развития и совершенствования познаватель­ных способностей, воспитание рационального мышления (чет­кость, точность, ясность и др.) обусловлена теми огромными научно-техническими сдвигами, которые произошли в жизни че­ловеческого общества за последние десятилетия.

Проблемы автоматизации производства, моделирования на электронных вычислительных машинах требуют от работников самых разнообразных областей строгого и последовательного анализа изучаемых ими процессов. Поэтому воспитание привыч­ки к полноценной логической аргументации является практиче­ской необходимостью. Развитию логической мысли в наибольшей степени отвечает изучение математики. Для математического

стиля мышления характерны: лаконизм, четкая расчлененность хода рассуждений, логическая последовательность, точность мысли и умение пользоваться символикой.

Потребовался новый подход к содержанию и методам мате­матического образования людей, и прежде всего подрастающего поколения. И не случайно, что в наши дни ученые и учителя озабочены реформой школьного курса математики.

На что обращено особое внимание при перестройке про­грамм? Основные поиски направлены на то, чтобы, с одной сто­роны, устранить перегородки между отдельными математически­ми дисциплинами и «построить,— как писал А. И. Маркуше-вич,— единый курс математики, влить в него новое содержание, избрав в качестве важнейших идей функцию и преобразование, включить элементы аналитической геометрии и математическо­го анализа» *, а с другой стороны, показать применение матема­тики к физике и к другим наукам, поскольку прикладное значе­ние математики в настоящее время необычайно возросло (техни­ка, экономика, оборона, лингвистика, биология, психология, педагогика, медицина и др.).

Современная наука рассматривает математику как учение о различных структурах. Привлекательной стала мысль «выделить лишь немногие классы структур, лежащие во всей математике, создать их иерархию, кратко, выразительно охарактеризовать и представить простыми и доступными для восприятия моделями

(образцами}» ².

Учение о различных структурах математики (алгебраическая структура и прежде всего группа, структура упорядоченного или частично упорядоченного множества и др.) привлекло особое внимание психологов и педагогов. Последние обнаружили, что механизмы мышления ребенка и взрослого весьма близки, что убедительно показано в книге Ж. Пиаже и Б. Инельдер ³. Усвое­ние детьми математических понятий оказывается вполне возмож­ным на более раннем этапе, чем считалось прежде.

Основные вопросы преподавания математики явились пред­метом обсуждения многих интернациональных семинаров, в ко­торых принимали участие ученые, преподаватели математики, инженеры, логики, - психологи, историки и другие специалисты социалистических и капиталистических стран. Подобные семина­ры проводились в Англии, Бельгии, Швейцарии, Франции, Люк­сембурге и т. д.

В 1962 г. по инициативе Венгерского правительства и при со­действии ЮНЕСКО был проведен в Венгрии Международный симпозиум по преподаванию математики в школе; выводы и реко­мендации этого симпозиума заслуживают серьезного внимания.

O.И. Маркушевич. К вопросу о реформе школьного курса мате­матики. «Математика в школе», 1964, № 6, стр. 4.

Выяснилось, что исследования, проводимые в разных странах, показали возможность использования простейших операций над множествами, понятий отношения и функции в школьном курсе, предназначенном для детей, начиная с 12-летнего возраста (и да­же раньше).

Международный симпозиум стимулировал дальнейшую эк­спериментальную работу по разработке программ для школ в разных странах.

В Советском Союзе на основе экспериментальной работы, проводимой ряд лет, такая программа преподавания математики в массовой школе, начиная с I класса, уже создана Академией педагогических наук СССР при участии видных ученых-матема­тиков и для начальных классов школы введена как обязательная с 1 сентября 1969 г.

Чтобы понять значение поисков новых путей работы и осо­бенности новой программы, необходимо кратко ознакомиться с характером старой программы и ее недостатками.

Краткий анализ преподавания арифметики в 1 классе начальной школы (до введения новых программ)

Уже в первые годы после Великой Октябрьской социалисти­ческой революции в поисках путей создания новой школы учите­ля стали пересматривать методы преподавания. К сожалению, многое в то время вносилось в школу прожектерски, не крити­чески заимствовалось из зарубежной литературы.

Был издан новый учебник для трудовой школы I и II ступени Е. Горбунова-Посадова и И. Цунзер «Живые числа, живые мыс­ли и руки за работой». Авторы писали, что они пытаются по­строить преподавание в соответствии с развитием и склонностя­ми начинающих учиться. «В ребенке живет дух исследователя, ему присуща органическая потребность самостоятельно нахо­дить, творить, испытывать, мыслить, двигаться, применять на де­ле добытые знания, работать руками. Ребенок старается вопло­тить в свою работу, в свою игру то, чем он живет в данный мо­мент. Ввиду этого ознакомление с начатками математики должно быть основано на активной деятельности ребенка: он должен быть деятельным сотрудником во время преподавания, а не пас­сивным слушателем»'.

Поскольку основной деятельностью ребенка является игра, авторы предлагали обучать детей и в школе игровыми приемами. «Ребенок живет играя; игра — это его занятие, его работа. И мы даем целый ряд игр, требующих счета и сообразительности. Ду­маем, что играя, ребенок лучше усвоит счет, лучше всего ознако­мится с числами и действиями над ними. Нам бы хотелось боль-

шую часть преподавания начальной математики перевести на такое самообучение путем живых занятий и игры» '.

Ставилась задача развивать у детей математические пред­ставления, но само развитие понималось еще авторами как са­моразвитие.

В 30-х годах в результате индустриализации страны стала расти потребность в повышении общеобразовательного уровня народа. Было принято постановление ЦК ВКП (б) от 25 июля 1930 г. «О всеобщем обязательном начальном обучении». Это обязывало педагогов и методистов разработать систематические руководства по обучению детей в школе. На это направляли вни­мание учителей и постановления ЦК ВКП (б) «О начальной и средней школе» от 5 сентября 1931 г. и «Об учебных програм­мах и режиме в начальной и средней школе» от 25 августа 1932г.

Для реализации выдвинутых партией задач в 30-х годах был создан ряд методик по обучению арифметике.

Советские методисты продолжали развивать ту прогрессивную линию в преподавании арифметики, которая была заложена рус­скими педагогами-классиками. Детей учили не столько счету, сколько арифметическим действиям, вычислениям, объясняя это тем, что дети приходят в школу с уже сформировавшимся уме­нием считать и элементарными понятиями о числе. Поэтому за­дача школы состояла в том, чтобы на основе усвоенных детьми умений систематизировать элементарные представления о чис­лах. Процесс формирования понятий о числе рассматривался как длительный и весьма сложный.

Значительное влияние в то время оказала работа К. Ф. Лебединцева «Развитие числовых представлений в раннем детстве»

(1923г.).

Наблюдая за своими детьми, К. Ф. Лебединцев пришел к вы­воду, что первые представления о числах в пределах пяти возни­кают у маленьких детей на основе различения групп предметов, причем совсем не в порядке натурального ряда. Так, узнавание группы в два предмета и наименование ее числительным два предшествует наименованию один. Дети различают группу, со­стоящую из двух пар предметов, раньше, чем группу из трех предметов. «В силу этих обстоятельств можно заключить, что первые числовые представления возникают у ребенка главным образом благодаря восприятию небольших групп однородных предметов, имеющихся в окружающей среде (глаза, руки, ноги, ножки стола и т. д.)» ².

Некоторые методисты приняли точку зрения К. Ф. Лебединцева. Большинство же считало, что для формирования числовых

представлений у детей важно не только обеспечить восприятие групп, но и обучать детей счету.

Кроме счета предметов, многие авторы рекомендовали вво­дить с самого начала и измерение. Они развивали мысль одного из дореволюционных русских методистов — Д. Галанина, под­черкивавшего значение измерения для усвоения понятия количе­ства, которого нет, когда ребенок пересчитывает отдельные предметы. Если мы возьмем пять стаканов воды и сольем воду в один сосуд, то образуется новое целое — графин, куда вошло пять стаканов. Это целое не может рассыпаться на отдельные счетные единицы, как рассыпаются пять карандашей. Сравнение величин служит наглядной картиной при сравнении чисел, ибо, сравнивая два отрезка по длине, сразу можно увидеть, что один длиннее другого на одно деление, а, следовательно, пять больше четырех на 1 единицу.

Не останавливаясь подробно на различиях методик обучения арифметике у разных авторов, сделаем некоторые обобщения:

1. Большинство советских авторов стояло на точке зрения необходимости обучать детей в I классе двум основным видам деятельности: сначала — счету, а затем — приемам вычисления (при изучении сложения и вычитания).

2. В качестве подготовки к переходу от счета к вычислениям многие авторы считали необходимым изучить с детьми числа и их состав. Но одни авторы признавали необходимым ограничиться изучением состава чисел первого пятка, после чего перейти к изучению действий (И. Н. Кавун, Н. С. Попова, частично (Г. Б. Поляк), другие предлагали предпослать изучению действий изучение состава всех чисел в пределе 10 (А. С. Пчелко, В. Л. Эменов и др.).

Но, как и для чего следует изучать состав чисел, они не рас­крывали, а объяснения их были не всегда однородны. Например, одни указывали на то, что число может быть различным образом разложено на 2—3—4 слагаемых (В. Л. Эменов), другие считали необходимым ограничиться двумя слагаемыми (Г. Б. Поляк). Оставалось непонятным, для чего же нужно разлагать число, и какими пределами следует ограничиться в изучении состава,— теоретически это не аргументировалось. Неясно было также, ка­кое теоретическое и практическое значение имеет это предвари­тельное (до изучения действий) изучение состава чисел.

Одни рассматривали изучение числа как подготовку к усвое­нию сложения и вычитания, другие — как предпосылку к выра­ботке техники вычислений, третьи видели в этом средство формирования ясного представления о числе, четвертые считали, что изучение состава чисел имеет значение повторения и приве­дения в систему первоначальных числовых представлений в пре­делах первого пятка, со знанием которого дети приходят в школу.

Отсюда и неразрешенность ряда вопросов. Разложение и со-

оставление числа — это различные операции. Разложить множе­ство объектов на более мелкие группы сможет и маленький ребе­нок, но это не значит, что он составит это число (исследования Я. И. Петрова, Е. И. Корзаковой и других).

3. Многие методисты связывали изучение состава числа с числовыми фигурами, хотя уже в начале -XX века велись большие дискуссии о значении числовых фигур.

Возникал вопрос, почему именно числовым фигурам припи­сывается столь высокая роль, в то время как дети с раннего воз­раста окружены многообразием различных множеств предметов, в разной форме расположенных. Многие противники симультан­ного (целостного) восприятия числовых фигур указывали, что восприятие количества в таких случаях подменяется восприятием формы рисунка. Авторы методик обходили все эти спорные во­просы молчанием.

4. Ряд авторов совсем не касался вопросов о формировании представлений о множестве, первых понятий о числе и о развитии у маленьких детей умения считать до школы. Отсюда мето­дика обучения арифметике в школе оказывалась без фундамен­та, так как отсутствовала преемственность с предшествующим этапом жизни детей, не раскрывалась идея развития навыков счета и первоначального формирования понятия числа. Потому оставалось неясным, что хорошо, что плохо в уровне подготовки детей, поступающих в школу. Авторы мирились с тем, как фактически готовят детей, не выдвигали требований ни перед дошкольными учреждениями, ни перед родителями. Они полагали, что обучение детей счету, изучение чисел и их состава на протяжении двух-трех недель в школе ликвидирует глубокие недостатки, сложившиеся еще до школы, и дети смогут успешно перейти к изучению систематического курса.

5. Все авторы подчеркивали значение обучения детей счету. Однако ни одна из методик не раскрывала сущности этого обучения. Отдельные авторы, например А. С. Пчелко, делали по­пытки дать некоторые указания. Он рекомендовал начинать обучение детей не со счета, а с отсчета, предлагая самим детям создавать множества путем постепенного присоединения одного предмета к другому. Основная мысль его состояла в том, чтобы помочь детям понять значение итогового числа при счете, показать, что с присоединением нового элемента получается новое число. В этих целях А. С. Пчелко, Г. Б. Поляк и др. предлагали вести отсчет в такой форме: 1 кубик, 2 кубика, 3 кубика и т. д.,т. е. именуя предметы, с тем чтобы потом перейти к обычному счету: 1, 2, 3 и т. д. Возникает вопрос, насколько оправдан такой метод обучения в школе, куда в основном поступают дети, овладевшие счетом; с другой стороны, он не соответствует особенностям понимания у маленького ребенка. Исследования показа­ ли, что итоговое число не соответствует у детей количеству сосчитанных предметов.

6. Значительно большее единство наблюдалось во взглядах методистов на способы обучения арифметическим действиям сло­ жения и вычитания, а главное — на обучение вычислительным приемам.

Подавляющее большинство методистов считало необходимым одновременное изучение сложения и вычитания (И. Н. Кавун, Н. С. Попова, А. С. Пчелко). Однако и здесь имелись некоторые расхождения: так, в методике под редакцией В. Л. Эмепова сло­жение и вычитание рекомендуется проводить раздельно, а в ме­тодике Г. Б. Поляка раздельное изучение сложения и вычитания дается лишь для чисел первого пятка и одновременное — для чисел второго пятка.

7. По вопросу, с чего начинать изучение действий — с ариф­ метических ли задач или с числовых примеров, также были раз­ ные точки зрения. Одни говорили о необходимости начинать изу­ чение действий и вычислительных приемов с задач, мотивируя это тем, что смысл самого арифметического действия может быть понят и усвоен лишь на задачах, другие же считали, что приемы вычисления легче усвоить на числовых примерах, и рекомендо­ вали изучение действий и вычислительных приемов начинать с примеров и лишь усвоенные вычислительные приемы применять при решении задач.

Таким образом, мы видим, что обучение детей в I классе, как и во всей начальной школе в целом, сводилось к тренировке вы­числительных навыков.

В самих программах указывалось, что обучение начальной арифметике «характеризуется своей практической направлен­ностью и конкретностью своего содержания».

Курс арифметики в подготовительный период строился кон­центрически, как это было у методистов конца XIX — начала XX в. Деление по концентрам было обусловлено признанным утверждением, что область чисел должна расширяться в соответ­ствии с умственным развитием детей, с их возрастными возмож­ностями. Создавалась ненужная жесткость в усвоении того или иного навыка в пределах узкого концентра. Недостаточная осознанность в усвоении навыков в одном концентре мешала усвоению целесообразных приемов вычисления в последующих концентрах.

Большая дробность концентрических кругов мешала уясне­нию сущности десятичной системы счисления. Учащиеся даже III класса не усваивали разрядности, ибо нельзя усвоить деся­тичную систему, находясь в пределах лишь двух разрядов. Дети, как правило, допускали большое количество ошибок в поразряд­ном вычитании больших чисел, о чем писали сами методисты.

Итак, следует признать, что программы отличались сугубо практической направленностью, излишним концентризмом, мно­гоступенчатостью и недостаточным научным уровнем изучаемо­го учащимися материала. К тому же традиционная методика, на-

правленная на однообразную тренировку навыков, на заучива­ние таблиц, не делала обучение арифметике привлекательным для детей.

В связи с этим ставился вопрос о необходимости уменьшить число концентров или совсем их снять и повысить теоретический уровень преподавания арифметики в начальной школе.

Поэтому вполне закономерно, что в связи с мощным разви­тием науки и техники, высокими требованиями, предъявляемыми к умственному развитию школьника, возникла необходимость пересмотреть программы и методы обучения математике начи­ная с I класса.

О некоторых направлениях в реформе математического образования в начальных классах школы

В поисках путей реформы математического образования и создания новой программы определилось несколько направле­ний. Одни считали, что в основу реформы должно быть положе­но коренное изменение содержания знаний, другие — что глав­ным является пересмотр и усовершенствование методов обу­чения. Одним из дискуссионных был вопрос о том, с чего начи­нать обучение в I классе — с дочислового периода, с различных операций с множествами или с числа и счета, как это было прежде.

Одни исследователи считали, что в I классе следует ввести дочисловой период обучения, которому надлежит уделить значительное внимание. В этот период, не прибегая к числу, нужно познакомить первоклассников с такими математи­ческими понятиями, как множество, соотношения между элемен­тами множеств, с равенством и неравенством, множеств, с опе­рациями множеств (объединение, пересечение, дополнение); по­знакомить с понятием величины и способами сравнения непре­рывных и дискретных величин путем измерения их разными «мерками», с приемами записи равенства и неравенства величин, буквенной и знаковой символикой; познакомить с простейшими алгебраическими операциями, обобщающими арифметические действия; значительное место авторы отводили и знакомству с геометрическим материалом, И лишь на основе изучения мате­риала в дочисловой период рекомендовалось вводить знакомст­во с числом и счетом с помощью слов-числительных.

Другие исследователи и методисты, наоборот, считали невоз­можным на начальной ступени обучения игнорировать счет и чис­ло, так как они органически вошли в жизнь нашего общества. Начинать обучение с множеств, игнорируя число, значит неиз­бежно создавать искусственную обстановку, так как дети, прихо­дящие в школу, как правило, все хорошо считают. Но обучение счету и числу не означает отрицания введения алгебраических понятий в программу I класса.

10

Они говорили о том, что надо сделать школу не только обу­чающей, но и развивающей личность ребенка. Этому должно быть уделено основное внимание при реформе школьного обра­зования, включая I класс. Так, например, Н. С. Попова писала, что с появлением в филогенезе понятия числа произошла пере­стройка отношения к таким понятиям, как количество и порядок, они утратили свою самостоятельность, они были «сняты» числом и тем более в наше время не могут служить основой формирова­ния математических понятий. Она считает, что нет никакой необ­ходимости знакомить детей с доарифметическими операциями, так как само число содержит в себе количественные и порядко­вые отношения (кардинальное и ординальное значение чисел). Отсюда следует вывод, что начинать обучение надо с числа и счета, уделяя особое внимание формированию сознательного счета и полноценных числовых понятий.

Одна из групп ученых под руководством Л. В. Занкова напра­вляла свое внимание в основном на разработку наиболее эффек­тивных методов, способствующих развитию активной, четкой, деловой мысли учащихся. Главную задачу реформы школьно­го обучения эти авторы видели в перестройке отношений между учителем и учащимися, в создании обстановки радостного уче­ния.

Поиски по различным направлениям получили отражение в ряде книг. Действительный член АПН СССР проф. А. И. Марку-шевич разработал проект программы для I класса. Сотрудники АПН СССР К- И. Нешков и А. М. Пышкало опубликовали учеб­ное пособие, созданное на основе проведенного ими эксперимен­та '. В экспериментальной программе, помещенной в этой книге, предусматривается начать работу в I классе с операций над мно­жествами. В этот раздел входят различные'упражнения в опера­циях объединения, пересечения и разностей двух частей одного и того же множества и тут же знакомство с переместительным и со­четательным свойствами операций объединения и пересечения. Затем переходят к счету множеств и их подмножеств; изучают письменные и печатные цифры и упражняются в определении и записи численности объединений, пересечений и разностей двух частей одного и того же множества; изучают действия сложения и вычитания чисел в пределах 20, знакомятся с геометрическими фигурами и простейшими измерениями, изучают арифметические действия в пределах 100.

Другое направление отражено в книге Л. В. Занкова «Новое в обучении арифметике в I классе» ². В ней автор раскрывает основные принципы построения курса математики и методов пре-

подавания арифметики, которые, по его мнению, будут содейст­вовать общему умственному развитию школьников и обеспечат высокое качество усвоения учащимися теоретических знаний и практических навыков.

Особый интерес представляет работа группы ученых-психоло­гов Московского государственного университета, получившая отражение в книге «Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного усвоения умственных действий» ¹, а также ра­бота группы ученых-психологов Научно-исследовательского ин­ститута психологии АПН СССР, освещенная в книге «Возраст­ные возможности усвоения знаний» ².

Авторы этих книг направили свое внимание на реконструк­цию самого содержания математического образования в началь­ных классах, на наиболее рациональное его построение и психологическое обоснование. На основе проведенных ис­следований были созданы экспериментальные программы систе­матического курса математики, которые значительно отлича­лись от действующих «как по широте охватываемого материала, так и по глубине раскрытия закономерностей соответствующих областей действительности» ³.

Исходя из необходимости повышения теоретического уровня преподавания в начальной школе, они предлагают принципиаль­но иное построение курса, начиная с начальных этапов обучения, в котором бы теоретические положения «обеспечили учащимся ориентировку в новых встречающихся в курсе математических явлениях».

Выдвигая принцип поэтапного формирования умственных действий и основных типов ориентировки (теория, утверждаю­щая, что психическая деятельность есть результат перенесения внешних материальных действий в план отражения, а отражение проходит ряд этапов), авторы считают весьма важным создание ориентировочной основы действия. Прежде всего для учащихся должна быть выявлена специфическая сторона изучаемого предмета, чтобы при изучении арифметики учащиеся столкнулись «с новой формой оценки вещей», чтобы они усвоили опосредованный подход к тем житейским, эмпирическим пред­ставлениям, которые они приобрели до школы. В курсе арифме­тики следует выделить основные понятия, которые по-новому, научно охарактеризовали бы изучаемый предмет, вырабатывали у учащихся новые оценки количественных явлений. Таким кон-

струирующим понятием начальной арифметики авторы считают меру. Мера позволяет сформировать опосредованную оценку количественных отношений. На основе ее вводится понятие еди­ницы. «Единица — то, что отмерено и равно своей мере» ¹. Еди­ница в этих условиях начинает восприниматься через отношение к мере, а не путем противопоставления одного предмета и ряда предметов. Основным видом деятельности становится измерение, и всякое число выступает как результат отмеривания, а не просто сосчитывания отдельностей. Через измерение усваивается поня­тие меры, а на его основе — понятие единицы. «Тем самым эмпи­рический подход к оценке количественных отношений вытесня­ется теоретическим»². Понятие меры позволяет сформировать и понятие о десятичной системе счисления, в которой каждый но­вый разряд представляет собой новую меру счета. Десяток вы­ступает как новая мера, в которой десять раз уложилась преж­няя мера. Соотношение разрядов рассматривается как соотноше­ние мер. Учащиеся понимают соотношение различных мер, пере­ходы одной меры в другую. Усвоение понятия меры позволяет учащемуся осмыслить понятие числа, действий над числами.

Следующий принцип, который выдвигают авторы, это дедук­тивный принцип обучения. «Наилучшая ориентировка в предме­те может быть достигнута через изучение общих правил, законо­мерностей явлений»,— пишут они. Однако усвоение этих зако­номерностей доступно на начальных этапах обучения лишь при условии подачи их в материализованной форме, обеспечивающей действие. Так, например, правило образования натурального ря­да чисел п±\, где п — данное натуральное число, представляет­ся в виде лестницы, где отношения каждой ступени воспроизво­дят отношения между числами. Пользуясь этой моделью число­вого ряда, учащиеся усваивают состав чисел, нумерацию, прин­цип десятичной системы счисления.

Поскольку принцип Десятичной системы лучше усваивается детьми на больших числах, требуется линейное, а не концентр и-' ческое построение программы. Такое построение создает возмож­ность сразу отработать общий принцип действий сложения и вычитания без выделения приемов в за­висимости от величины и структуры числа. Этот общий принцип действия выступает на разном материале. Так, сложные понятия могут усваиваться детьми посредством моделирования.^:

При индуктивном же построении действие связывается с не­существенными признаками тех же явлений, происходят частные обобщения, а это неизбежно порождает необходимость постоян­ного переучивания.

Все действия на моделях обязательно должны сопровождать­ся речевым комментированием, объяснением того, что делает ученик и почему. По мере же усвоения модели она устраняется, остается лишь «речевая схема действия». Словесное оформление действия должно происходить в процессе действий, а не после его завершения. Рассуждение вслух способствует осознанию са­мого действия. Вначале рассуждение бывает развернутым, а по мере освоения действия оно сокращается за счет свертывания ряда менее существенных операций, которые при необходимости быстро восстанавливаются.

Авторы считают возможным сразу вводить терминологию и различные условные обозначения. Исходя pis указанных прин­ципов, авторы разработали экспериментальную программу обу­чения арифметике.

Таковы характерные особенности старой программы и основ­ные поиски новых путей математического образования и обуче­ния детей. Исследования в этой области продолжаются; многие из поставленных вопросов требуют дальнейшего, более глубоко­го изучения и проверки в массовой школе и детском саду.

овая программа по математике в I классе школы (утверждена Министерством просвещения СССР)

Новая программа по математике для I класса школы, введенная с 1 сентября 1969 г., явилась результатом большой, скрупулезной работы сектора начального обучения Научно-ис­следовательского института методов обучения АПН СССР под руководством С. М. Языкова. В разработке ее и проверке, в на­писании учебников и методических руководств принимали учас­тие сотрудники сектора, а также Н. А. Менчинская и члены ка­федры педагогики Ленинградского педагогического института им. А. И. Герцена под руководством А. А. Люблинской. Особая роль в психологическом обосновании программы принадлежит Н. А. Менчйнской.

Новая программа опирается на многочисленные исследова­ния, проведенные в сельских и городских школах разных об­ластей и районов страны. В массовой проверке проекта про­граммы принимали участие коллективы учителей, психологи и методисты.

В процессе этой опытной работы велись систематические на­блюдения за работой учащихся (сильных и слабых), за выпол­нением учащимися домашних заданий, анализировались ошиб­ки, трудности или успехи в работе учителей и учащихся.

Каковы же требования и принципы, на которых построена новая программа, что надлежит знать дошкольному работнику.

В программе отражаются те огромные задачи, которые по­ставлены XXIV съездом КПСС перед всей советской обществен-

14

ностью: дать стране всесторонне развитую и теоретически под­готовленную молодежь. А для этого необходимо:

1. Реорганизовать начальную школу навыков в школу раз­ вития.

2. Развивать у учащихся, начиная с I класса, интерес к по­ знавательной деятельности, познавательные способности: воору­ жать учащихся системой умственных и практических действий; формировать осознанное отношение к действительности. Уча­ щийся должен воспитываться как мыслящий гражданин и как активный деятель.

3. Добиваться, чтобы осваиваемые учащимися знания были прочными. Учащийся должен уметь самостоятельно добы­ вать новые знания и пользоваться ими в жизни. А для этого его надо научить приемам и способам умственной деятельности как в учебной, так и во внеучебной работе.

4. Учить учащихся теоретически обосновывать свои знания, применять доказательства, а для этого они должны овладеть раз­ личными умственными операциями (анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификация, сериация).

Приемы умственной деятельности не автоматизируются как навыки, они вырабатываются в течение длительного времени в упражнениях на разном содержании и разной степени труднос­ти. Показателем их является способность переноса приобретен­ных умений при решении задач большей сложности и в иных условиях.

Таковы принципы построения новой программы.

Что же характеризует содержание программы?

Высокий теоретический уровень знаний, которые надлежит усвоить детям.

Математические знания (количественные, пространственные, временные) должны усваиваться в их взаимосвязях и отношени­ях, в функциональных зависимостях (зависимость количества мерок от размера мерки при измерении той или иной величины; зависимость расстояния от времени и мн. Др.).

Таким образом, прежний курс арифметики заменен комплекс­ным курсом, состоящим из арифметики, алгебры и геометрии и получившим название «Математика».

Рассмотрим основное содержание программы I класса под углом зрения преемственности с программой детского сада. Ос­новная линия преемственности состоит в том, что в программе I класса в настоящее время органически сочетается обучение и воспитание детей, развитие познавательных способностей уча­щихся, что характерно и для работы детского сада. В программе I класса повышен теоретический уровень образования, поставле­на задача формировать у учащихся умения применять знания на практике, вырабатывать в связи с этим соответствующие уме­ния и навыки. Все это требует умственной подготовки детей уже в детском саду.

15

В области элементарных математических знаний дети долж­ны быть подготовлены к наблюдениям и умению выделять суще­ственное, обобщать и систематизировать накопленные знания, пользоваться ими в своей бытовой и игровой деятельности, вла­деть простейшими понятиями.

Программа в школе начинается с изучения нумерации в пре­делах первого десятка и ознакомления с простейшими геометри­ческими фигурами.

Формирование понятия натурального числа проводится на основе практических действий с множествами предметов; в то же время у детей формируются некоторые важные обобщения {вы­ясняется принцип образования каждого следующего числа в на­туральном ряду, устанавливается соотношение между .любым числом ряда и всеми ему предшествующими и последующими и др.). Изучение сложения и вычитания в пределах десяти ведет­ся на основе знания детьми свойств натурального ряда я ±1. А затем изучаются приемы прибавления (вычитания) числа по : его частям или путем перестановки слагаемых. Таким образом, дети вооружаются сразу различными способами сложе­ния и вычитания чисел в пределах 10 на основе знаний о со­ставе чисел и умений находить одно из двух слагаемых по данной сумме и другому слагаемому: 9 — 6=3, потому что 9 = б + 3, а если от суммы отнять одно из слагаемых — б, то получится другое слагаемое — 3.

Овладевая способами вычислений, дети усваивают различные математические выражения, например, детей учат записывать и читать такие простейшие выражения, как «сумма (разность) двух чисел» (5 + 4 и 6 + 4; 7 -J- 2 и 7 — 2). Сравнивая эти запи­си, учащиеся подмечают закономерности вычислений и на этой основе решают вопрос, какой знак следует поставить между ни­ми — больше, меньше или равно: 5 + 4 < 6 -Ь 4; 7 + 2 > 7 — 2.

Упражняясь в сравнении выражений различного вида, на­пример, 6 + 1 и б 1— I или 4 + 6 и 6 + 4 и т. п., дети более глубо­ко осознают смысл арифметических действий, а это повышает их интерес к математике, воспитывает наблюдательность, обосно­ванность суждений, привычку к самопроверке.

В этот же период учащиеся знакомятся с текстовыми ариф­метическими задачами. При решении задач на нахождение сум­мы ,и остатка учащиеся анализируют количественные отношения, раскрываемые в тексте задачи, и выбирают необходимое дей­ствие. Рассматриваются на этом этапе и задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, при этом задачи могут быть выражены не только в прямой, но и в косвенной форме. Изучаются также задачи па нахождение неизвестного слагаемо­го, при этом вводится впервые буква х (х + 3 = 8). Эта форма записи позволяет в отвлеченном виде представить учащимся связь между известными в задаче величинами и.искомой (напри­мер, между суммою и слагаемыми), На этой основе дети учатся

16

записывать формулой любую задачу (например, прямая задача: в графине было 7 стаканов воды, 5 стаканов вылили. Сколько стаканов осталось в графине? 7 — 5 = 2; или обратная задача: в графине было несколько стаканов воды, 5 стаканов вылили, остался всего 1 стакан. Сколько стаканов воды было в графине? jc —5= 1).

В период изучения десятка учащиеся знакомятся и с геомет­рическим материалом, который рассматривается в тесной связи с арифметическим. Уже с первых дней учения в качестве счетно­го наглядного материала используются различные виды тре­угольников, кругов, а затем вводятся многоугольники, у которых учащиеся считают стороны, углы и вершины; учащихся знакомят с некоторыми свойствами геометрических фигур.

В этот же период вводится измерение отрезков сантиметром: отрезки измеряются и сравниваются, а это служит одной из на­глядных основ сравнения чисел.

На изучение тем «Нумерация», «Сложение и вычитание в пре­делах первого десятка» отводится 70 часов, из них на «Нумера­цию и простейшие фигуры» — 30 часов, на «Сложение и вычита­ние» — 40 часов.

Перестройка обучения математике в школе привела к необ­ходимости пересмотра работы по подготовке к школе, перестрой­ки программы математических знаний в детском саду. Это по­требовало, с одной стороны, углубленного изучения умственных возможностей детей дошкольного возраста, а с другой — иссле­дования возможности более глубокого усвоения ими математи­ческого материала с учетом тех требований к общему развитию, которое необходимо для успешной учебы в школе.

Такие исследования начали проводиться с 50-х годов в Науч­но-исследовательском институте дошкольного воспитания АПН РСФСР (впоследствии — в АПН СССР), в Научно-исследова­тельском институте психологии УССР, на кафедрах дошкольной педагогики, в том числе в Ленинградском педагогическом ин­ституте им. А. И. Герцена.

«Программа воспитания в детском саду» опирается на эти исследования и на опыт лучших воспитателей.

Студент педагогического института — будущий организатор дела дошкольного воспитания — должен не только понять тре­бования действующей «Программы воспитания», но и ясно пред­ставлять себе перспективы ее дальнейшего развития.

Пройдет 2—3 года, прежде чем студент факультета дошколь­ного воспитания начнет сам преподавать методику формирова­ния элементарных математических знаний учащимся в педучи­лище; они, в свою очередь, начнут работать как воспитатели в детских садах лишь через 2 года, а их воспитанники пойдут в школу еще через 4 года. Это значит, что студент должен видеть перспективы развития науки на 8—10 лет вперед. Поэтому про­грамма и учебное пособие по методике формирования элеме'н-

тарных математических представлений у детей дошкольного во­зраста не могут ориентироваться лишь на практику сегодняшне­го дня.

Вот почему в предлагаемом пособии студент найдет не толь­ко то, чему и как надо учить детей, обучая их математике на ос­нове действующей «Программы воспитания», но и разъяснения о дальнейшем ее совершенствовании в соответствии с научными исследованиями и достижениями практики.

Поскольку наука беспрерывно развивается и требования об­щества возрастают, «Программа воспитания» не может быть за­стывшей: она будет и дальше совершенствоваться. И долг до­школьных работников с высшим образованием не только пони­мать закономерности развития науки, но и всемерно участвовать в разработке новых проблем и внедрении научных данных в практику.

Глава I

ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ ДЕТЕЙ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА ЭЛЕМЕНТАМ МАТЕМАТИКИ

§ 1. Обучение и развитие детей

Формирование личности ребенка и его умственное развитие совершаются в процессе разнообразных видов деятельности.

С первых дней жизни ребенка окружают люди, которые воз­действуют на его развитие, и с которыми он устанавливает эмо­циональный контакт. Окружают ребенка и многочисленные ве­щи, обладающие различными свойствами и качествами. Иссле­дования показывают, что уже младенец располагает весьма большими возможностями для знакомства с окружающей средой и анализа воспринимаемых объектов. Это обеспечивает его при­способление к постоянно изменяющимся компонентам деятель­ности (например, в ситуации кормления).

В процессе разнообразной перцептивной и продуктивной дея­тельности у детей с раннего возраста начинают формироваться представления об окружающем их мире: о различных признаках и свойствах предметного мира — цвете, форме, величине, о про­странственном расположении предметов, об их количестве, а так­же об отношениях людей (к самому ребенку, друг к другу, к окружающим вещам и т. д.). Постепенно накапливается сен­сорный опыт, который явится основой формирования элемен­тарных математических представлений и первых понятий.

Возникает вопрос: следует ли предоставить ребенку возмож­ность развиваться самопроизвольно или необходимо руководить процессом познания им окружающего мира?

Проблема обучения и развития во многих странах до сих пор остается нерешенной. И не случайно по этой проблеме развер­нулись весьма оживленные прения на XVIII Международном конгрессе психологов (1966). Чем же это было обусловлено?

До недавнего времени буржуазная педагогика стояла на по­зициях спонтанного развития детей. Как правило, жестко опре­делялись возрастные возможности детей и строго в соответствии с ними разрабатывались школьные программы. Но бурный рост науки и техники вскрыл ограниченность и несовершенство этих программ. Необходимо было повысить уровень школьного обра­зования, а это значит, пересмотреть и возможности детей на раз­ных возрастных этапах.

Развитие детей дошкольного возраста всегда рассматрива­лось в буржуазной педагогике как спонтанный процесс, и необ­ходимость строгих программ для этого возраста отрицалась. Но

1

такие взгляды пришли в противоречие с требованиями общества, и во многих странах началось широкое экспериментирование прежде всего по содержанию образования. В результате этих экспериментов ученые единодушно пришли к выводу, что позна­вательные возможности детей, включая и детей дошкольного возраста, значительно шире, чем предполагалось ранее.

Но возник новый вопрос: как наиболее рационально исполь­зовать эти возможности. Надо было рассмотреть по-новому проб­лему обучения и развития.

Советская психология и педагогика, опираясь на марксист­ско-ленинское учение, рассматривают развитие как про­цесс усвоения общественно- исторического опыта человечества.

Овладение знаниями, выработанными человечеством, способ­ствует перестройке всех психических функций, поднимает ребен­ка на новую ступень развития. Отсюда следует вывод — обу­чение должно идти вп-ереди развития. В обучении необходимо всегда ориентироваться не на то, что способен уже делать сам ребенок, а на то, что он может сделать при помощи взрослых, под их руководством.

Известный советский психолог Л. С. Выготский подчеркивал, что надо ориентироваться всегда «на зону ближайшего разви­тия». Он писал: «...мы можем учесть не только законченный уже на сегодняшний день процесс развития, не только уже завершен­ные его циклы, не только проделанные уже процессы созрева­ния, но и те процессы, которые сейчас находятся в состоянии ста­новления, которые только созревают, только развиваются» ^].

Обучение тем самым ведет развитие, является источником развития.

Этот взгляд советских психологов и педагогов противостоит взглядам представителей других направлений, например, -аме­риканского психолога Э. Торндайка, отождествляющего обуче­ние и развитие, и взглядам швейцарского психолога Ж. Пиаже, разрывающего оба эти процесса, считающего, что обучение .не влияет на спонтанный ход развития.

Почему -нельзя отождествлять обучение и развитие? Это не­правомерно делать уже потому, что каждый из этих взаимосвя­занных процессов имеет свои закономерности. «Было бы вели­чайшей ошибкой предполагать, — пишет Л. С. Выготский, — что'эти'внешние законы строения учебного процесса совершенно совпадают с внутренними законами строения тех процессов раз­вития, которые вызываются к жизни обучением»². Между пер­вым знакомством и овладением знанием проходит сравнительно много времени. «Ребенок раньше овладевает известными навы-

20

ками по данному предмету, чем сознательно и произвольно на­учается применять их» '. В период от незнания к знанию совер­шается внутренний психический процесс, т. е. происходит разви­тие.

Но быстрый рост науки и техники поставил и еще одну проблему перед педагогикой: школьные программы неизбежно будут отставать от быстрого развития науки — они не могут столь быстро перестраиваться. Поэтому учащиеся должны на­учиться самостоятельно добывать знания как в процессе учения, так и после окончания школы. Они должны приучиться следить за развитием науки и техники. Следовательно, в процессе обуче­ния с ранних лет важно не только сообщать готовые знания, но и развивать умственные способности детей. Отсюда вытекает вы­вод о необходимости использования развиваю­щих методов обучения, способствующих формиро­ванию таких мыслительных операций, как анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение, классификация, сериация и мн. др., а также развитию познавательных интересов, наблюдения, речи.

Однако не следует забывать, что мышление может плодо­творно развиваться лишь на основе усвоения знаний. «...И если нет последних, то нет и основы для развития мышле­ния, и последнее не может созреть в должной мере» ²,— писал один из виднейших советских психологов П. П. Блонский.

Известно, что готовые знания могут усваиваться ребенком путем запоминания, без глубокого осмысливания. Вот почему в советской педагогике и психологии подчеркивается необходи­мость осознанного их усвоения.

Знания, усвоенные лишь памятью, поверхностны и не исполь­зуются в жизни. Ученик, усвоивший знания лишь на память, все­гда бывает готов отвечать, так как он не подвергает их сомнению. Обычно такой ученик бывает крайне удивлен, когда при ответе обнаруживаются пробелы. Если же знания усвоены осознан­но учащимся, он перед ответом подвергает их самопроверке. Вот что пишет по этому поводу П. П. Блонский: «Усвоение без про­верки — простая безотчетно происходящая работа памяти; усвоение, контролируемое самопроверкой,— память, работаю­щая под контролем мышления» ³.

Стало быть, руководя развитием в процессе обучения, необ­ходимо добиваться, чтобы внимание учащихся было обращено не только на содержание усваиваемого материала, но и на спосо­бы выполнения.

21

Задача педагога — организовать деятельность детей, ибо только в деятельности совершается развитие ребенка. Когда перед ребенком ставится та или иная задача, у него появляется потребность ее решить. Но он может это сделать, лишь усвоив новые способы действия, поведения, мышления. И возникает противоречие между необходимостью и возможностями, между известным и неизвестным. Это противоречие и является движу­щей силой развития.

Таким образом через деятельность, направляемую педагогом, обучение влияет на психическое развитие ребенка.

Проблеме умственного развития детей за последние десяти­летия посвящено много исследований.

Особый интерес для методики обучения детей элементам ма­тематики представляют исследования, проводимые в Научно-ис­следовательском институте психологии УССР под руководством Г. С. Костюка. Эти исследования показали, что в условиях обу­чения дети дошкольного возраста достигают более высоких, чем обычно, уровней различения признаков объектов (цвета, формы, величины). Успешно овладевают дети и операцией сериации, усваивая при этом относительность величины каждого элемента в ряду (больше предыдущего и меньше последующего). Этот принцип относительности переносится детьми и на другие мо­дальности (количество, звуки и др.).

В условиях обучения у детей пяти-шести лет успешно фор­мируется понятие числа; количество абстрагируется от всех других пространственно-качественных признаков объектов. Раз­вивается способность видеть и устанавливать соподчинение под­множеств и множеств, подклассов и классов, доказывать истин­ность своих суждений и умозаключений. Дети быстрее переходят от конкретного к абстрактному, понятийному мышлению; у них вырабатываются мыслительные операции, необходимые для овладения научными понятиями.

Все психологические исследования, проведенные в Советском Союзе, убеждают, что в процессе обучения происходят качест­венные изменения в психическом развитии ребенка. «Обучение не только ускоряет переходы детей от низших к высшим струк­турам интеллектуальной деятельности. Оно является необходи­мым условием их образования. Новые структуры при этом не просто привносятся извне, они вырабатываются в процессе обу­чения из ранее сложившихся структур по образцам, воплощен­ным в усваиваемом учащимися общественном опыте. Внешняя стимуляция в этом процессе всегда действует через внутреннюю активность учащихся» ',— пишет Г. С. Костюк.

22

Итак, исследования советских психологов убедительно дока­зывают ведущую роль обучения в развитии детей. Важно при этом, чтобы методика обучения была тщательно разработана и обеспечивала не только сообщение знаний, но и совершенствова­ние мыслительных операций.