Контрольная работа «Векторная алгебра»

Если известны координаты точек и , то координаты вектора

Разложение этого вектора по ортам :

Длина вектора находится по формуле а направляющие косинусы равны Орт вектора

Пример 1. Даны точки

Разложить вектор по ортам и найти его длину, направляющие косинусы, орт вектора . Найдем координаты векторов:

и

Вектор

Контрольные варианты к задаче 1. Даны точки А, В и С. Разложить вектор по ортам Найти длину, направляющие косинусы и орт вектора .

1.		2.
3.	.	4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.

Задача 2. Если даны векторы то .

Т огда ; проекция вектора на направление вектора , условие перпендикулярности ненулевых векторов выглядит следующим образом:

Условие коллинеарности векторов: .

Пример 2. Даны вершины треугольника Найти угол при вершине А и проекцию вектора на сторону АС. С

В нутренний угол при вершине А образован векторами ,

А В

Тогда

Проекция на направление вектора :

Контрольные варианты к задаче 2

1. Даны векторы и Найти

2. Найти косинус угла, образованного вектором и осью OZ.

3. Даны векторы и . Найти косинус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

4. Даны векторы и . Вычислить

5. Найти косинус угла, образованного вектором и осью ОУ.

6. Даны векторы и . Найти косинус угла, образованного вектором и осью ОХ.

7. Даны векторы и . Найти

8. Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

9. Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

10. Определить, при каком значении m векторы и перпендикулярны.

11. Определить, при каком значении векторы и взаимно перпендикулярны.

12. Даны вершины треугольника: . Определить внутренний угол при вершине В.

13. Даны вершины треугольника: . Определить внутренний угол при вершине А.

14. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию

15. Даны две точки и Вычислить проекцию вектора на ось вектора

16. Даны векторы: и . Вычислить

17. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах , .

18. Даны три вектора: , , . Найти

19. Даны три вектора: , , . Найти

20. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и

21. Даны три вектора: , , . Вычислить

22. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и

и удовлетворяет условию

23. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию

24. Даны вершины треугольника: Определить внешний угол при вершине А.

25. Даны вершины треугольника: Определить внешний угол при вершине А.

26. Дан вектор и точки и Найти

27. В треугольнике с вершинами Определить внутренний угол при вершине А.

28. Даны векторы и Найти проекцию вектора на направление вектора

29. Даны вершины треугольника: Найти проекцию вектора на сторону

30. Даны векторы Найти проекцию вектора на вектор

Задача 3. Площадь параллелограмма, построенного на векторах

можно найти по формуле а площадь треугольника, построенного

на этих векторах:

Пример 3. Даны вершины треугольника Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины С.

. Находим векторы

Векторное произведение

Так как где длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, .

Контрольные варианты к задаче 3

1. В параллелограмме ABCD даны векторы и Найти площадь параллелограмма, построенного на диагоналях параллелограмма

ABCD.

2. Даны три вершины параллелограмма , , . Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь

параллелограмма).

3. Найти площадь треугольника с вершинами , ,

(средствами векторной алгебры).

4. Найти площадь треугольника с вершинами , , (средствами векторной алгебры).

5. Даны три вершины треугольника: , , . Найти его высоту, приняв ВС за основание (через площадь треугольника).

6. На векторах и построен параллелограмм. Найти

площадь параллелограмма, сторонами которого являются диагонали данного параллелограмма.

7. Даны векторы и . Найти вектор перпендикулярный к векторам если модуль вектора численно равен площади треугольника, построенного на векторах и тройка векторов левая.

8. Даны точки , , Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и ( ).

9. На векторах и построен параллелограмм. Найти высоту, опущенную на основание (через площадь).

10. В треугольнике ABC, где , найти длину высоты, опущенной на сторону AB (через площадь треугольника; средствами векторной алгебры).

11. На векторах и построен параллелограмм. Найти площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма.

12. В треугольнике с вершинами , и точка E делит сторону АВ пополам. Найти площадь треугольника АСЕ (средствами векторной алгебры).

13. Найти площадь параллелограмма со сторонами если

14. Найти площадь треугольника со сторонами если ,

и

15. Дан треугольник с вершинами , и . Вычислить площадь треугольника и высоту, опущенную из вершины А (средствами векторной алгебры).

16. Даны векторы и Найти вектор , который пер-

пендикулярен векторам , если длина его численно равна площади треуго-

льника, построенного на векторах , и тройка векторов правая.

17. Даны точки , и . Вычислить площадь треугольника и высоту, опущенную из вершины С (средствами векторной алгебры).

18. В треугольнике с вершинами , и точка E делит сторону АВ пополам. Найти площадь треугольника ВСЕ (средствами векторной алгебры).

19. Даны точки , и . Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и

20. Даны три вершины треугольника: , , . Вычислить его высоту, опущенную из вершины В (через площадь, средствами векторной алгебры).

21. Дан треугольник с вершинами , и . Найти его высоту, опущенную из вершины А (через площадь, средствами векторной алгебры).

22. Даны векторы и Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах

23. Даны векторы и Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах

24. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах где

25. В треугольнике с вершинами , и точка E делит сторону АВ пополам. Найти площадь треугольника АСЕ (средствами векторной алгебры).

26. Даны векторы и Найти вектор , который перпендикулярен векторам если модуль вектора численно равен площади треугольника, построенного на векторах , и тройка векторов левая.

27. Даны точки , и . Найти длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины С (через площадь, средствами векторной алгебры).

28. Даны три вершины параллелограмма , и . Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь, средствами векторной алгебры).

29. На векторах и построен параллелограмм. Найти площадь параллелограмма, построенного на его диагоналях.

30. Даны векторы , и Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах

Задача 4. Если даны координаты , то смешанное произведение векторов вычисляют по формуле

.

Объемы параллелепипеда и тетраэдра (треугольной пирамиды), построенных на векторах находятся с помощью смешанного произведения векторов:

,

Если > 0, то тройка векторов - правая.

Если < 0, то тройка левая.

Если = 0, то векторы компланарны.

Пример 4. Дан параллелепипед построенный на векторах и Найти высоту, проведенную из вершины на грань ABCD.

Объем равен произведению площади основания на высоту:

находится также по формуле , поэтому

.

Вычислим векторное произведение =

Тогда