Точки экстремума
Определение: Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими.
Теорема Ферма (необходимое условие существования функции):
Если функция
имеет производную в каждой точке
промежутка (a ;b) и
-
точка экстремума, то в этой точке
производная равна нулю
.
На основании теоремы Ферма можно сделать вывод: функция может иметь экстремум только в критических точках. Но обратное утверждение верно не всегда.
Теорема: (достаточное условие существования экстремума):
Пусть функция y=f(x) определена, непрерывна и дифференцируема на (a;b) и - это критическая точка.
Тогда:
1) если при переходе через точку производная функции изменяет свой знак с ''-'' на ''+'', то точка -это точка минимума.
2) если при переходе через точку производная функции изменяет свой знак с ''+'' на ''-'', то точка - это точка максимума.
Значит, чтобы найти точки экстремума функции y=f(x) на (a; b) нужно:
1) Найти
.
2) Найти критические точки функции y=f(x).
3) Определить знак на каждом из промежутков, на которые разделили промежуток (a; b) критические точки.
4) С помощью теоремы, выражающей достаточное условие существования экстремума, найти точки максимума и минимума.
Задача. Найти
точки экстремума функции
на
[-3;3]
1)
2)
3)
4)
-
x
-1
1
+
0
+
0
-
2
-2
max
min
Ответ: точка максимума (-1;2), точка минимума (1;-2)
Упражнения
Найти экстремумы функции:
1)
2)
3)
Контрольные вопросы:
Необходимое условие возрастания функции на промежутке (a ;b).
Необходимое условие убывания функции на промежутке (a ;b).
Достаточное условие возрастания функции на промежутке. (a ;b).
Достаточное условие убывания функции на промежутке (a ;b).
Закончить текст:
а) если
для
всех x
(a;b),то
. . .
б) если . . . , то функция y=f(x) убывает на этом промежутке.
Найти промежутки монотонности функции по ее графику
В каких точках области определения дифференцируемой функции ее монотонность изменяется: возрастание изменяется на убывание и наоборот?
Какие точки называются критическими?
Необходимое условие существования экстремума функции.
Достаточное условие существования экстремума функции.
Какая точка называется внутренней?
Какие точки называется точками экстремума?
Какая точка называется точкой максимума?
Какая точка называется точкой минимума?
Домашнее задание
Заполните в рабочей тетради занятие 3
Лекция № 3
Тема: Интегральное исчисление. Последовательности пределы и ряды
План:
Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Демонстрация основных свойств и формул неопределенных интегралов.
Методы интегрирования. :
Основные свойства определенных интегралов.
Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.
Вычисление определенных интегралов различными методами.
Применение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры, объемов тел.
Составление дифференциальных уравнений на простых задачах.
Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Числовая последовательность
Цели: создание благоприятных условий для изучения понятия первообразной и неопределенного интеграла; познакомить с основными свойствами и формулами неопределенного интеграла; познакомить с основными методами интегрирования, основных свойств определенного интеграла; познакомить с формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла; показать различные методы вычисления определенных интегралов; познакомить с практическим приложением определенного интеграла, понятия дифференциального уравнения; составление дифференциальных уравнений для простейших задач; познакомить с методами решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков. понятия числовой последовательности
1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Из школьного курса математики известно, что математические операции образуют пары двух взаимно обратных действий (например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня).
Дифференцирование дает возможность для заданной функции F(x) находить ее производную F'(x) или дифференциал dF= F'(x)dx Существует действие, обратное дифференцированию интегрирование - нахождение функции F(x) по известной ее производной f(x)= F'(x) или дифференциалу f(x)dx.
Функцию F(x) называют первообразной функции f(x), если для всех х из области определения функции F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx
В общем случае, если f(x) имеет первообразную функцию F(x), совокупность F(x)+C также будет первообразной для f(x): (F(x)+C)'= F(x)'=f(x).
Совокупность первообразных F(x)+C для данной функции f(x) или данного дифференциала f(x)dx называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают ∫f(x)dx.
По определению, ∫f(x)dx = F(x) + С (читается «неопределенный
интеграл эф от икс дэ икс»).
Выражение f(x)dx называют подынтегральным выражением, функцию f(x) - подынтегральной функцией, а С - постоянной интегрирования.
Вычисление интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.
Пример: Найти неопределенный интеграл от функции f(x)=cos х Функция cos х есть производная от функции sin х, поэтому
∫cosxdx = sinx + C
2, Основные свойства неопределенного интеграла,
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
(∫f(x)dx)/ =f(x)
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
d∫f(x)dx = f(x)dx
Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной и дополнительному слагаемому С
4. Постоянный множитель k можно выносить за знак неопределенного интеграла:
5. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:
