Элементы множеств

Множество можно представить себе как соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому либо признаку (множество студентов группы, множество книг на полке, множество точек на прямой и т. д.)

Элементами множества называются предметы, из которых со стоит множество (студент в группе, книга на полке, точка на прямой и т. д.)

Для обозначения и записи множеств используются заглавные буквы латинского алфавита или символическая запись (со скобками). Элемент множества обычно обозначается малой буквой латинского алфавита или конкретным знаком (рисунком): А, {х, у, z}, {A, D, 0}

Отношение принадлежности элемента некоторому множеству записывают с помощью символа е (символ £ обозначает отношение "не принадлежит").

Множество считается заданным (известным), если или перечислены все его элементы, или указано такое свойство его элементов, • которое позволяет судить о том, принадлежит ли данный элемент множеству или нет.

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. В этом случае используется запись А = В.

Если любой элемент множества В является и элементом множества А, то множество В называется подмножеством (частью) множества А. В таком случае говорят, что В содержится в А, пишут: В А. В силу этого определения, любое множество являете* подмножеством самого себя.

Для удобства рассматривают и множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом Ø По определению, пустое множество является подмножеством любого множества.

Пересечение множеств.

Множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств А и В (рис 1), называется пересечением множеств А и В и обозначается А ∩ В.

Два множества, пересечение которых является пустым множеством, называются непересекающимися множествами.

Пересечение множеств является операцией, для которой имеет место переместительный и сочетательный законы:

Справедливость этих законов следует из определения пересечения множеств (рис 9,10)

Объединение множеств.

В практической деятельности человека часть встречается операция объединения двух или нескольких множеств в одно новое множество. Например: множества - студенческие группы объединя ются во множество - училище. Операцию объединения множеств обозначают знаком

Суммой, или объединением, двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех элементов множеств А и В и только из них.

Если множества А и В имеют общие элементы, то каждый из этих общих элементов берется во множестве С только один раз.

. Дополнение до множества.

Пусть даны два множества А и В. Множество, которое состоит из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается А \ В (рис 11).

Если А В, то разность А\В называется дополнением множества В до множества А.

Прямое произведение двух множеств.

Прямым произведением множеств А и В называется множество, элементами которого являются все упорядоченные пары (х, у), в которых первым компонентом является элемент из А, вторым компонентом - элемент из В. Прямое произведение множеств А и В обозначается А х В. Таким образом, по определению

Эквивалентные множества.

Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называют эквивалентными. Если множества А и В эквивалентны, то пишут

Примером эквивалентных множеств могут служить множество геометрических фигур А, множество натуральных чисел N и множество слов обозначающих натуральные числа В.

А=

N=

B=