5. Внецентренное сжатие (растяжение)

Внецентренным сжатием (растяжением) называется такой случай, когда сила сжимающая или растягивающая брус, приложена параллельно продольной оси бруса, но точка ее приложения не совпадает с центром тяжести сечения.

При этом точка приложения силы может принадлежать одной из главных центральных осей инерции или располагаться вне главных осей (общий случай).

В любом поперечном сечении бруса при внецентренном приложении силы в общем случае возникают три внутренних силовых фактора: нормальная сила N = F; изгибающие моменты относительно главных осей инерции М_х = F·Y_F; M_y = F·X_F.

Нормальное напряжение в любой точке попересного сечения бруса с учетом принципа независимости действия сил находится по формуле:

.

Путем преобразования с учетом, что I = i² A, данную формулу можно представить в ином виде: ,

где x_F, y_F – координаты точки приложения внешней силы;

х, у – координаты точки, в которой определяется напряжение;

выражение в скобках – уравнение прямой линии. Приравняв его нулю, можно определить положение нулевой линии:

.

То есть положение нулевой линии определяется координатами:

у₀ = х₀ = . Или если положение нулевой линии задано координатами (х₀ и у₀), то можно решить обратную задачу, т.е. найти координаты положения силы F (х_F, у_F): ; .

Из формул видно, что нулевая линия никогда не проходит через центр тяжести сечения, ее положение не зависит от величины продольной силы, а зависит только от точки приложения силы (F) и геометрических характеристик сечения.

Одноименные координаты силовой точки (х_F, у_F) и точек пересечения нулевой линии с осями координат (х₀ и у₀) всегда имеют противоположные знаки, т.е. следует учитывать положение точек с их знаками.

Нулевая линия делит сечение на две части – сжатую и растянутую. Проведя две касательные к сечению параллельно нулевой линии, находят две наиболее напряженные точки поперечного сечения, в которых будут действовать наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения.

Для проверки прочности материала в этих точках используются следующие условия прочности:

;

,

Где х, у – координаты опасных точек; R_р, R_с – расчетные сопротивления материала бруса на растяжение и сжатие соответственно; х_F, у_F – координаты точки приложения продольной силы.

Если материал бруса плохо работает на растяжение, нужно, чтобы все сечение работало на сжатие. С этой целью необходимо ограничить эксцентриситет приложения силы некоторой областью вокруг центра тяжести сечения, которую принято называть ядром сечения.

Если внутри этой области или на ее контуре приложить продольную силу, то во всех точках поперечного сечения напряжения будут одного знака.

Чтобы получить очертание ядра сечения, необходимо обкатывать нулевую линию по контуру сечения, вычислить координаты граничных точек ядра сечения относительно главных осей сечения и, соединив эти точки, получить очертание ядра сечения.

Задача № 5 Расчет внецентренно сжатой колонны

Дано: жесткая колонна заданного поперечного сечения сжимается силой F, приложенной параллельно продольной оси колонны в точке, показанной на схеме сечения. Расчетное сопротивление материала на растяжение R_р = 3 МПа, на сжатие R_с = 20 МПа.

Требуется:

1. определить геометрические характеристики поперечного сечения колонны;

2. найти положение нулевой линии и определить опасные точки в сечении;

3. вычислить наибольшие сжимающие и растягивающие нормальные напряжения и построить эпюру напряжений. Дать заключение о прочности колонны;

4. построить ядро сечения.

Схемы к заданию приведены на рис. 5.1, числовые данные – в таблице 5.1.