Контрольная работа № 2

4. Определение прогиба в статически определимой балке при прямом изгибе графоаналитическим методом

Графоаналитический метод или его иногда называют способом фиктивной нагрузки, позволяет вычислить прогиб или угол поворота в определенном сечении балки, не составляя уравнения упругой линии. Он основан на сходстве дифференциальных зависимостей связывающих прогиб, изгибающий момент и интенсивность сплошной нагрузки.

Рассмотрим эту связь:

1. EI_хY – прогиб

2. EI_хY' = EI_х – угол поворота

3. EI_хY'' = М – изгибающий момент

4. EI_хY''' = Q – поперечная сила

5. EI_хY^IV = –q – интенсивность нагрузки

Этими пятью выражениями представлена четкая связь между прогибом, углом поворота, изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью нагрузки. Рассмотрим уравнения 1,3 и 5. Видим, чтобы по моменту определить прогиб нужно с моментом проделать такую операцию, какая производится с нагрузкой при определении по ней изгибающего момента.

Как видно, это весьма простой способ определения прогиба и угла поворота, если необходимо быстро определять деформации во многих сечениях балки.

Но для этого необходимо соблюдать следующую последовательность:

1. Для заданной действительной балки построить эпюру моментов от приложенных к ней сил.

2. Принять эпюру моментов за фиктивную нагрузку q^ф. Причем эту нагрузку направить к оси балки от очертания эпюры моментов действительной балки.

3. Для искомого сечения определяем фиктивную поперечную силу ( ) и, разделив ее на жесткость балки, определяем угол поворота сечения .

4. Для определения прогиба искомого сечения определяем фиктивный момент в этом сечении ( ) и, разделив его на жесткость балки определяем прогиб .

5. При аналитическом способе определения деформаций в балках произвольные постоянные интегрирования находились из условия на границах сечений двух смежных участков.

В рассматриваемом методе произвольные постоянные не определяются, а решение задачи сводится к соответствующему закреплению концов или промежуточных сечений фиктивной балки, которое удовлетворяла бы следующие условия:

если У=0, то М^ф = 0; если У 0, то М^ф 0;

если = 0, то Q^ф = 0; если 0, то Q^ф 0.

Задача №4. Определить прогиб на свободном конце балки графоаналитическим методом

Дано: статически определимая балка, защемленная одним концом, как показано на рис. 4, нагруженная силами (данные взять из таблицы 4).

Требуется:

1) составить расчетную схему действительной балки (ДБ);

2. построить эпюру моментов от внешних сил действительной балки;

3. принять эпюру моментов действительной балки за фиктивную нагрузку (q^ф);

4. согласно требованиям правильно закрепить действительную балку превратив ее в фиктивную балку (ФБ);

5. составить расчетную схему фиктивной балки;

6. определить в сечении «С» фиктивный момент ( ) и определить прогиб (У_с).

Пример расчета

Порядок решения задачи.

Определяем изгибающие моменты в сечениях (А, В, С) действительной балки, строим эпюру моментов, принимаем ее за фиктивную нагрузку (q^ф). Согласно правилам защемленный конец (А) действительной балки принимаем свободным от защемления, а свободный конец балки (С) – защемляем. Далее составляем расчетную схему фиктивной балки и определяем опорный фиктивный момент ( ) в защемлении. Разделив его на жесткость балки, определяем прогиб на свободном конце действительной балки (У_с).

Изгибающий момент в сечении «С» М_с = 0.

Изгибающий момент в сечении «В₁» = – F·l.

Изгибающий момент в сечении «В₂» = – F·l – М = – 2F·l.

Изгибающий момент в сечении «А» М_А = – F·2l – М = – 3F·l

Определяем фиктивный момент в заделке фиктивной балки:

.

Прогиб в сечении «С» действительной балки равен:

\Рисунок 4.

Таблица 4