Задача 3б Расчет на прочность статически неопределимой балки

Чтобы балки были геометрически неизменяемыми на них должно быть наложено не менее трех связей. Однако на практике часто встречаются балки, в которых число наложенных связей превышает необходимое для обеспечения геометрического постоянства, т.е. имеются так называемые «лишние» связи, хотя в действительности они необходимы по условиям прочности, жесткости, экономичности. Число лишних связей определяет степень статической неопределимости системы.

Метод решения статически неопределимых балок заключается в том, что вначале отбрасываются «лишние» связи, затем их действия заменяются неизвестными усилиями, и заданная балка превращается в статически определимую и называется основной системой. Для вычисления «лишних»неизвестных составляются условия деформации системы. Таким образом, можно сказать, что при решении любой статически неопределимой задачи для нахождения «лишних» неизвестных надо к уравнениям статики прибавить недостающее число уравнений, получаемых из рассмотрения деформаций.

Рассмотрим пример решения статически неопределимой балки и сравним ее с такой же статически определимой балкой из задачи 3а по условиям ее загружения, но с дополнительной опорой в сечении Д, представленной на рис. 3.5.

На защемленном конце балки возникают сила реакции R_A и момент защемления М_А, на другом конце, лежащем на опоре Д – сила реакции R_Д. Таким образом, данная балка имеет три неизвестных.

Уравнений равновесия имеется только два:

(1)

(2)

Следовательно, данная балка имеет одну «лишнюю» неизвестную и является один раз статически неопределимой.

За «лишнюю» неизвестную в примере примем реакцию на опоре Д. Для ее определения составим основную систему, представленную на рис 3.5. Отбросив опору Д, получим статически определимую балку (рис. 3.3).

Рисунок 3.5.

От действия внешних сил свободный конец балки переместится на расстояние . Обозначим этот прогиб от действия сил V_F.

На самом же деле конец балки лежит на опоре и прогиб равен нулю. Следовательно, согласно принципу независимости действия сил опорная реакция R_Д должна быть такой величины, при которой уничтожался бы полученный нами мнимый прогиб. То есть, реакция R_Д, действуя отдельно, (рис. 3.5, б) должна создать прогиб V_RД, равный по величине прогибу V_F, но направленный в противоположную сторону.

Из этого условия и определится реакция R_Д, возникшая на опоре.

Уравнение деформации будет V_F = V_RД (3).

Прогиб от внешних сил V_F определим, применив метод начальных параметров. Поскольку в заделке начальные параметры V_A и _А равны нулю, располагаем начало координат в заделке.

Предварительно, согласно требованиям метода, на участке СД догружаем балку равномерно распределенной нагрузкой до конца опоры и на этом же участке приложим компенсирующую нагрузку. (Эти дополнительные нагрузки на рис. 3.5, а показаны пунктиром).

Данные = 90 кН и М_А = 400 кНм в заделке берем из расчета балки 3а.

Находим прогиб V_F в сечении Д от внешней нагрузки на балку

Прогиб V_RД от силы R_Д, приложенной к концу балки (рис. 3.5, б) определим согласно известной формуле из справочной литературы:

;

Подставив значения прогибов в уравнение деформаций (3), определим величину опорной реакции на опоре Д.

; =41,13 кН

Опорный момент М_А определим из уравнения (1)

Теперь приступаем к определению поперечных сил и изгибающих моментов, как при решении задачи 3а.

Разбиваем балку на участки и записываем аналитические уравнения для Q и М.

Участок 1 .

Q₁ = – R_Д; М₁ = R_Д· Z₁.

при Z₁= 0; Q_Д = –41,13 кН, М_Д = 0;

при Z₁ = 2 м; Q_с = –41,13 кН, М_с = 41,13·2 = 82,26 кНм.

Участок 2.

Q₂ = – R_Д + F + q·Z₂; .

при Z₂ = 0, Q_c = –41,13 +30 = – 11.13 кН; = 41,13·2= 82,26 кНм;

при Z₂ = 3м, Q_В = –41,13 +30+20·3=48,87 кН;

М = 41,13·5–30·3– = 25,65 кНм.

Q_К = – R_Д + F + q·Z₀=0; ;

кНм.

Участок 3 .

Q₃ = R_А; М₃ = – М_А+ R_А· Z₃.

при Z₃= 0; Q_А = 48,87 кН, М_А = –112,1 кНм;

при Z₃ = 2 м; Q_в(лев) = 48,87 кН, М_А = –112,1 +48,87·2= – 14,35 кНм.

Самым опасным сечением в балке является заделка с Q_max = 48.87 кН и М_max = 112,1 кНм. Сравним их с Q_А и M_А в статически определимой балке.

Определяем необходимый момент сопротивления двутавровой балки из условия прочности по нормальным напряжениям

Принимаем по ГОСТ 8239-72 двутавр №33, где h = 33 см, b = 14 см, d = 0,7 см, t = 1,12 см, А = 53,8 см², I_x =9840 см⁴, W_x = 597 cм³, = 339 см³, Масса G_п.м = 42,2 кг.

Определяем наибольшее нормальное напряжение в подобранной балке

<

Определяем максимальное касательное напряжение в балке по формуле Журавского

Как видно, условия прочности соблюдаются.

Определяем массу статически неопределимой балки

G_ст.н. =G_п.м · l = 42,2·7=295,4 кг.

Сравниваем массы статически определимой и статически неопределимой балок.

.

Следовательно, экономия в металле составляет 2,2 раза.