Задача 3

Состоит из двух задач:

Задача 3а – это расчет на прочность статически определимой балки;

Задача 3б – расчет на прочность статически неопределимой балки.

Цель решения этих задач – показать преимущество одних балок перед другими несмотря на то, что приложенная нагрузка на участках по длине и величине одинаковая.

Задача 3а Расчет на прочность статически определимой балки

Для статически определимой балки постоянной жесткости, нагруженной как показано на рисунке 3а и в таблице 3 требуется:

1. построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

2. подобрать двутавровое сечение из стали и вычислить наибольшее касательное напряжение;

3. построить эпюры распределения нормальных и касательных напряжений по высоте двутавровой балки в опасных сечениях;

4. определить вес балки длиной 6 метров согласно сортаменту.

Материал балки – сталь с расчетным сопротивлением R = 210 МПа,

= 130 МПа, Е= 2 · 10⁵ МПа.

Пример (Рис 3.3):

Дано: F= 30 кН; q = 20 ; М= 40 кН·м; R = 210 МПа, = 130 МПа, Е= 2·10⁵ МПа.

Решение. Определяем опорные реакции R_А и М_А, если будем решать задачу по левым силам.

В данном примере по рис. 3.3 задачу будем решать со свободного конца и поэтому опорные реакции определять не требуется.

Рисунок 3а – Схемы балок

К задаче 3а и 3б.

Таблица 3

Рисунок 3.3.

Находим значения поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях балки.

Участок 1.

Q₁ = q·Z₁ +F,

при Z₁= 0; Q_c = 30 кН М_с = 0;

при Z₁ = 3 м; = 20 · 3 +30= 90 кН;

= –20· – 30 · 3 = – 180 кНм.

Участок 2.

Q₂ = F+3q; .

при Z₂ = 0, Q_в = 30+3·20=90 кН; = –30 · 3 – 20 · 3 · 1,5 – 40 = –220 кНм;

при Z₂ = 2м, Q_A = R_A =30+3·20 = 90 кН; М_А = –30·5–20·3·3,5–40=–400 кНм.

По данным расчета строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Видим, что самым опасным является сечение А, в котором М_max = 400 кНм, Q_max = 90 кН.

Из условия прочности по нормальным напряжениям определяем необходимый момент сопротивления сечения балки.

По сортаменту выбираем горячекатаную сталь. Балки двутавровые (по ГОСТ 8239-72) №55, h = 55 см, b = 18 см, d = 1,1 см, t = 1,65 см, A = 118 см², I_x = 55962 см⁴, W_x = 2035 см³, S_x = 1181 см³, масса G_погм = 92,6 кг/м.

Вычислим наибольшее нормальное напряжение в подобранной балке:

Проверим прочность балки по касательным напряжениям

Как видно, условия прочности по нормальным и касательным напряжениям выполняются.

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений в опасном сечении балки (Рис. 3.4).

Рисунок 3.4.

Определяем касательные напряжения в сечении (А) двутавра и, соответственно, по высоте сечения в следующих точках:

, так как ;

, где

;

;

Определяем массу статически определимой балки

G_{cт. o}= G_пог· l = 92,6·7=648,2 кг.