2. Статически неопределимые стержневые системы

Стержневая система, в которой количество внутренних силовых факторов превышает количество уравнений статики для твердого тела, называется статически неопределимой.

Для определения неизвестных усилий составляются дополнительные уравнения деформаций стержневой системы. Решая совместно уравнения статики и уравнения деформаций, раскрываем статическую неопределимость и находим все неизвестные усилия в стержнях.

Задача 2 Расчет статически неопределимой стержневой системы

Дано: Абсолютно жесткий стержень, опирающийся на шарнирную опору, удерживается дополнительно стержнями, шарнирно прикрепленными к брусу и опорам.

Расчетные схемы выбираются по рисунку 2.1, числовые данные – по таблице 2.1.

Требуется:

1. определить усилия и напряжения в стержнях при заданных значениях нагрузки и площадях сечений стержней;

2. исходя из условий прочности наиболее нагруженного стержня, определить предельную нагрузку.

Рисунок 2.1 –Схемы к статически неопределимым системам

Таблица 2.1

Числовые параметры к статически неопределимым системам.

Пример расчета статически неопределимой стержневой системы

Дано: F =100 кН; А₁ = 10 см²; А₂ = 15 см²; l₁ = 1м; l₂ = 3м; а = 3м; b = 1м; с = 0,5м; ; ; Е = 2·10⁵ МПа; R = 210 МПа.

Рисунок 2.2- Расчётная схема статически неопределимой стержневой системы

Рисунок 2.3 – Схема деформирования статически неопределимой стержневой системы

Решение. Для определения неизвестных опорных реакций (Рис. 2.2) записываем уравнения статики:

В этих уравнениях четыре неизвестных: R_М, H_М, N₁ и N₂.

Поэтому нужно составить еще одно уравнение деформаций. С этой целью рассмотрим схему деформирования системы (Рис. 2.3), где '; '.

Из треугольника КВВ' находим: '= .

Из подобия треугольников МСС' и МВВ' следует зависимость между и :

; т.е. .

Учитывая, что , получаем уравнение деформации системы – четвертое уравнение для определения неизвестных опорных реакций.

Однако, если находить лишь продольные силы N₁ и N₂ в ее стержнях, задачу можно упростить. Эти силы определяем из решения следующих уравнений:

, или

.

Получаем: N₁ = 71,1 кН; N₂ = 30,77 кН.

Находим напряжения в стержнях:

< R;

< R.

Определяем предельную нагрузку F_пр на стержневую систему. Для этого вычисляем соотношение:

Находим предельные продольные силы в стержнях:

кН

кН

Принимаем N₁ = N_1(пр) = 210 кН.

Тогда: < N_2(пр).

Значения N₁ и N₂ подставляем в уравнение:

, решив которое, находим предельную силу, которую можно приложить к стержню. F_пр = 295,3 кН.

Следовательно, нагрузку на стержневую систему можно увеличить в

раза.

3. Изгиб балок

Прямой стержень, работающий на изгиб, называют балкой. Изгибом называется такая деформация балки, при которой изменяется кривизна ее продольной оси.

Плоско-поперечным (прямым изгибом) называют такой вид деформации, когда внешние силы расположены в силовой плоскости, проходящих через одну из главных центральных осей поперечного сечения балки и эти силы перпендикулярны к ее продольной оси.

Под влиянием внешних сил, действующих на балку, возникают опорные реакции, для определения которых используют уравнения статики:

У = 0; X = 0; М_х = 0.

Следует помнить, что опорные реакции относятся к внешним силам, действующим на балку. И поэтому, прежде чем решать задачу, следует убедиться в необходимости их определения.

Если уравнений равновесия достаточно для того, чтобы вычислить опорные реакции, то балку называют статически определимой, в противном случае она статически неопределимая.

При плоском поперечном изгибе в поперечном сечении балки от внешних сил возникает поперечная сила (Q), совпадающая с вертикальной осью (У) и изгибающий момент (М), действующий в силовой плоскости (УОZ).

Если в поперечных сечениях балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, то изгиб называют поперечным. При действии только изгибающего момента – чистым.

Значения поперечной силы и изгибающего момента находят методом сечений.

Поперечная сила в рассматриваемом сечении балки равна алгебраической сумме проекций на ось (У) всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения:

Q_i=

Изгибающий момент в каком-либо поперечном сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных по одну сторону оси сечения относительно нейтральной оси этого сечения:

М_х =

Вычислив значения поперечной силы и изгибающего момента в различных сечениях балки, строим эпюры Q и М, являющимися диаграммами изменения указанных усилий вдоль балки. При этом положительные ординаты эпюры поперечных сил откладываем вверх от оси эпюры, а эпюра изгибающих моментов строится со стороны растянутых волокон балки, т.е. положительные ординаты ее откладываются вниз от оси эпюры.

Далее студенту необходимо усвоить правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях балки.

Если внешние силы относительно проведенного сечения (n – n) вращают балку по часовой стрелке, то в рассматриваемом сечении поперечная сила принимается положительной. Если против часовой стрелки – отрицательной (Рис. 3.1)

Рисунок 3.1

Если внешние силы изгибают балку выпуклостью вниз, то в рассматриваемом сечении (n – n) изгибающий момент принимается положительным. Если балка изгибается выпуклостью вверх, то изгибающий момент в сечении (n – n) принимается отрицательным. Для лучшего запоминания прибегают иногда к правилу «дождя». То есть, если в первом случае на поверхности скапливается жидкость – значит «+», если во втором случае с поверхности жидкость стекает – значит «–». (Рис. 3.2)

Рисунок 3.2

Если найдены значения внутренних силовых факторов, для плоских статически определимых балок, можно определить нормальные и касательные напряжения в любой точке балки, проверить прочность материала и подобрать размеры поперечного сечения.

Условия прочности балки по нормальным напряжениям имеет вид:

, где R – расчетное сопротивление материала.

Условия прочности балки по касательным напряжениям имеет вид:

, где – расчетное сопротивление материала сдвигу.

По этим формулам можно подбирать размеры поперечных сечений балки и проверять прочность материала. Но весьма прочные балки могут быть разрушены из-за недостаточной жесткости. Поэтому балки еще рассчитываются на жесткость. С этой целью вычисляются прогибы балки и углы поворота сечений и их величины сравниваются с допустимыми нормативными значениями.

Прогиб балки и угол поворота сечения, можно вычислить, например, методом начальных параметров, используя уравнение изогнутой оси бруса.

Для этого начало координат помещаем на левом или на правом конце балки и выражение для моментов сил записывается только по левым или правым силам.

Если по условию задачи распределенная нагрузка заканчивается на каком-либо участке, не дойдя до конца балки, ее следует продолжить до конца балки и на интервале, где нагрузка продлена, приложить компенсирующую нагрузку с обратным знаком.

Все силовые факторы подставляются в уравнения с учетом их знаков принятых для моментов сил ранее (Рис. 3.2).

,

где, и – соответственно, начальные параметры (начальный прогиб и начальный угол поворота балки), определяемые из граничных условий на опорах балки. Если начало координат совпадает с защемлением балки, оба начальных параметра прогиб = 0, угол поворота = 0. при выборе начала координат на опоре с шарниром = 0, а находится из условия, что прогиб балки на другой опоре равен нулю.

Если начало координат выбрано на свободном конце консоли, оба начальные параметра не равны нулю. Их значения, находятся из условия, что прогиб балки в двух шарнирных опорах равны нулю.

Вычислив значения начальных параметров и и подставив их в уравнения, можно определить прогибы и углы поворота балки в любых поперечных сечениях по длине балки. При этом в уравнение включаются только нагрузки, приложенные к балке между рассматриваемым сечением и началом координат.

В уравнении , , – расстояния, соответственно, от сосредоточенного момента; сосредоточенной силы, и от начала участка, загруженного равномерно распределенной нагрузкой до рассматриваемого сечения.

Примечание : Универсальную формулу нельзя использовать, если жесткость сечения на различных участках балки различна. В этом случае рекомендуется применение графоаналитического метода или метода Мора–Верещагина для определения прогибов и углов поворота.