Задача № 6. Расчет сжатых стержней на устойчивость
Дано: Стальной стержень длиной l сжимается осевой нагрузкой F. Расчетное сопротивление материала R = 210 ГПа; модуль продольной упругости материала Е = 200 МПа.
Требуется: 1) подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости, пользуясь таблицей коэффициентов продольного изгиба ;
2) определить критическую силу Fкр для заданного стержня и сравнить ее с заданной нагрузкой F.
Схемы для расчета и числовые данные приведены в табл. 6.1.
Пример расчета на устойчивость
Дано: стальная стойка Рис. 6.3. длиной l = 2,8 м; нагружена продольной сжимающей силой F = 290 кН. Расчетное сопротивления материалов стойки R = 210 МПа; модуль продольной упругости материала Е = 200 ГПа.
Требуется: 1) подобрать размеры поперечного сечения стойки;
2) определить величину критической силы и сравнить ее с заданной нагрузкой.
Рис. 6.3. Схема закрепления концов и поперечное сечение стойки
1. Подбор размеров поперечного сечения стойки
Первое приближение.
Принимаем
= 0,5. тогда из условия устойчивости
определяем общую площадь 4-х уголков
см2,
требуемая площадь одного уголка
см2.
Принимаем по
таблице (ГОСТ 8509–86) четыре равнобоких
уголка
.
b
= 7,0 см; d
= 0,5 см; A1
= 6,86 см2;
см4;
см4;
= 31,94 см4;
Z0
= 1,9 см.
Площадь всего сечения А = 4·6,86 = 27,44 см4.
Рис. 6.4 – Расчетная схема и поперечное сечение стойки (Первое приближение)
Рис. 6.5. – Расчетная схема уголка (Первое приближение)
Определяем размеры сечения и его геометрические характеристики согласно расчетным схемам (Рис. 6.4 и Рис. 6.5).
см;
=
2,69 см;
см.
см4.
Определим момент инерции составного сечения относительно оси х1:
см4,
так как
см4 <
см, принимаем
см4,
тогда
=
=5,52
см,
.
Путем интерполяции
из табл. 6.2 в зависимости от
и материала сталь Ст. 3 определяем
= 0,888 >> 0,5.
Второе приближение.
.
Тогда
см2,
см2.
Принимаем равнобокий
уголок
;
b
= 6,3 см; d
= 4 см; Z0
= 1,69 см, A2
= 4,96 см2;
= 29,9 см4;
= 7,81 см4;
общая площадь стойки А = 4,96 · 4 = 19,84 см2.
=17,82
см;
= 2,39 см;
см;
см4;
= 5 см;
;
;
;
.
Проверим стойку на прочность:
МПа;
МПа.
Недонапряжение
Недонапряжение слишком большое.
Третье приближение.
.
Тогда
см2;
см2.
Принимаем равнобокий
уголок
.
b = 5 см; d = 0,5 см; Z0 = 1,42 см; = 17,8 см4; = 4,63 см4; А3 = 4,8 см2; общая площадь стойки А = 4,8 · 4 = 19,2 см2.
=14,4
см;
= 2 см;
см;
см4;
= 3,98 см;
;
;
;
.
Проверяем стойку на прочность.
МПа;
МПа.
Недонапряжение
Четвертое
приближение.
.
Тогда
см2;
см2.
Принимаем равнобокий
уголок
.
b = 5,6 см; d = 0,4 см; Z0 = 1,52 см; = 20,8 см4; = 5,41см4; А4 = 4,38 см2; общая площадь стойки А = 17,52 см2.
=15,84
см;
= 2,15 см;
см;
см4;
= 4,43 см;
;
;
Проверяем стойку на прочность.
МПа;
МПа.
Недонапряжение
,
что приемлемо.
Окончательно
принимаем сечение стойки состоящей из
4-х уголков
,
А = 17,52 см2,
см4.
2) Определяем критическую силу.
Для принятой стойки
при
= 65,46
= 100, используем формулу Ясинского.
МПа, тогда критическая
сила
кН.
Находим значение коэффициента запаса устойчивости:
.
Таблица 6.1
Таблица 6.2
Значения коэффициента в зависимости от гибкости стержней из стали Ст. 3
Гибкость элементов
|
Коэффициент для стали марки Ст. 3 |
Гибкость |
Коэффициент для стали марки Ст. 3 |
0 |
1,00 |
120 |
0,45 |
10 |
0,99 |
130 |
0,40 |
20 |
0,96 |
140 |
0,36 |
30 |
0,94 |
150 |
0,32 |
40 |
0,92 |
160 |
0,29 |
50 |
0,89 |
170 |
0,26 |
60 |
0,86 |
180 |
0,23 |
70 |
0,81 |
190 |
0,21 |
80 |
0,75 |
200 |
0,19 |
90 |
0,69 |
210 |
0,16 |
100 |
0,60 |
220 |
0,15 |
110 |
0,52 |
230 |
0,13 |
ЛИТЕРАТУРА
1. Сопротивление материалов / А.Ф. Смирнов и др. – М.: Высш. шк., 1972. – 480 с.
2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1969.
3. Федосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1986. – 512 с.
4. Сборник задач по сопротивлению материалов / Под. ред. А.В. Александрова. – М.: Стройиздат, 1977.
5. Терегулов И.С. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности. – М.: Высш. шк., 1984.
6. Справочник по сопротивлению материалов / Под. ред. Е.Ф. Винокурава и др. – Мн.: Наука и техника, 1988. – 464 с.
Приложение 1. Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Факультет заочного обучения Кафедра сопротивления материалов и теоретической механики
Контрольная работа № по дисциплине «Сопротивление материалов»
Выполнил: студент 3-го курса группы В- ФИО Проверил: преподаватель ФИО
Брест 201_ |
Приложение 2.
Лист
|
