Рекомендуемая литература

1. Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа./А.Ф. Бермант, И.Г.Араманович. – М.: Наука, 1973. – 720 с.

2. Бугров, Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебник. В 2 т. Т. 1 / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - Ростов н/Д.: Феникс, 1997. - 512 с.

3. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. - М.: Наука, 1989. - 736 с.

4. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2 кн. Кн. 1 / Н.С. Пискунов. - М.: Интеграл- Пресс, 2002. - 416 с.

Занятие 3

Повторное дифференцирование.

Дифференцирование неявно и параметрически заданных функций. Производные высших порядков.

Пусть функция определена и дифференцируема в некоторой области D, т.е. для нее существует производная , которая представляет собой тоже функцию от .

Производная от первой производной называется второй производной или производной второго порядка, т.е.

Производная от производной второго порядка называется третьей производной или производной третьего порядка.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1) –го порядка.

Замечание. Производные четвертого порядка и выше обозначаются римскими цифрами или арабскими в скобках.

Пример 1. Вычислить производную десятого порядка от функции .

Решение

…

Очевидно, что

Ответ:

Выведем формулу для вычисления производной n-го порядка от произведения двух функций .

…

Полученная формула называется формулой Лейбница.

Пример 2. Вычислить производную третьего порядка от функции .

Решение

Воспользуемся формулой Лейбница. Для этого вычислим производные каждого множителя и

, ,

,

Подставим вычисленные производные в формулу Лейбница, получим

.

Ответ:

Пример 3. .

Решение

,

,

,

…

.

Производная от неявной функции.

Уравнение , где ни одна из переменных явно не выражается через другую, называется неявно заданной функцией. Производная от такой функции находится по следующему правилу.

Нужно определиться, какая из переменных будет независимой, а какая переменная будет через нее выражаться. С учетом этого находится производная от обеих частей равенства с дальнейшим решением уравнения относительно производной. Если считать функцией, а - независимой переменной, то , а .

Пример 4. .

Решение.

Перенесем все в левую часть и приравняем к нулю. Получим неявно заданную функцию:

Продифференцируем это равенство с учетом того, что x – независимая переменная и , а y – функция, зависящая от , и производная от функции равна .

Получим: .

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие :

Решим это уравнение относительно y':

.

Ответ:

Производная функции заданной параметрическими уравнениями.

Функция , называется функцией, заданной параметрическими уравнениями.

Пусть функция определена и дифференцируема в области Т.

Известно, что производная первого порядка вычисляется по формуле:

Вычислим производную второго порядка, используя теоремы о производной сложной функции и обратной функции

Итак, производная второго порядка от функции, заданной параметрическими уравнениями, вычисляется по формуле:

(1)

Пример 5. Вычислить производную второго порядка от функции, заданной параметрически