8. Исследовать функцию и построить график.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
.
Приложение 1
Таблица производных сложной функции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
,
где
Приложение 2
Контрольная работа « Техника дифференцирования сложной функции»
Для проверки прочности навыка, приобретенного в ходе решения предыдущих задач, предлагаем варианты контрольной работы по теме "Дифференцирование сложных функций" с решениями.
Вариант 1 |
|
1.
|
5.
|
2.
|
6.
|
3.
|
7.
|
4.
|
8. . |
;
;
;
;
;
;
;
Вариант 2 |
|
1. ; |
5.
|
2.
|
6.
|
3. ; |
7.
|
4.
|
8.
|
;
;
;
;
;
.
Вариант 3 |
|
1. ; |
5.
|
2.
|
6.
|
3.
|
7. ; |
4. ; |
8. . |
;
;
;
;
Вариант 4 |
|
1. ; |
5.
|
2. ; |
6.
|
3. ; |
7.
|
4. ; |
8.
|
;
;
;
.
Вариант 5 |
|
1.
|
5. ; |
2. ; |
6. ; |
3. ; |
7. ; |
4.
|
8. . |
;
;
Вариант 6 |
|
1.
|
5. ; |
2. ; |
6.
|
3. ; |
7. ; |
4. ; |
8. . |
;
;
Ниже приводятся решения этих задач. Тождественные преобразования выполнены лишь в отдельных случаях, когда: либо запись существенно сокращается, либо нужно напомнить читателю, как следует записывать некоторые выражения.
Решения вариантов контрольной работы
Вариант 1
1.
;
2.
3.
;
4.
;
5.
Указание:
;
Или
иначе:
.
6.
.
7.
.
8.
.
Вариант 2
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
.
Указание:
или:
.
8.
.
Вариант 3
1. ;
Здесь:
.
2.
;
Указание:
;
или
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
Указание:
.
8.
;
или
,
.
Вариант 4
1.
;
2.
;
3.
;
Указание:
;
или ;
4.
;
Указание:
или
.
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
Указание:
или
Вариант 5
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
.
Вариант 6
1.
;
2.
;
3.
;
Указание:
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
.
ГЛОССАРИЙ
Вектор касательной к кривой Г, заданной вектором - это вектор с координатами .
Вектор- функция –это вектор , заданный на множестве М точек числовой прямой.
Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к кривой в данной точке .
Геометрический смысл производной: производная функции при данном значении аргумента - это тангенс угла, образованного касательной к графику функции в точке с положительным направлением оси ОХ.
Годограф вектор- функции - это геометрическое место концов векторов , выходящих из нулевой точки О.
Дифференциал- это главная часть приращения функции.
Дифференциал
n-го
порядка от
функции
- это
дифференциал
от дифференциала
порядка, т.е.
Дифференцирование- это операция вычисления производной.
Инвариантность формы дифференциала: форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента.
Касательная
к графику
функции
в точке
- это предельное положение секущей
при условии
.
Кривизна кривой- это длина скорости вращения единичного касательного вектора к кривой в данной точке относительно переменной длины дуги.
Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей и : предел отношения функций равен пределу отношения производных.
Производная вектор- функции в точке t - это предел отношения приращения вектор – функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю:
Производная n-го порядка - это производная от производной (n-1) –го порядка:
Производная от функции в точке - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремиться к нулю:
.
Промежутки монотонности – это промежутки возрастания и убывания функции.
Физический смысл производной – это скорость изменения функции.
Физический смысл производной второго порядка – это ускорение прямолинейного движения в данный момент времени равно производной второго порядка от пути по времени, вычисленной для данного момента.
.