Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Методичка по математике word.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
2.7 Mб
Скачать

Рекомендуемая литература

1. Бугров, Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебник. В 2 т. Т. 1 / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - Ростов н/Д.: Феникс, 1997. - 512 с.

2. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. - М.: Наука, 1989. - 736 с.

  1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2 кн. Кн. 1 / Н.С. Пискунов. - М.: Интеграл- Пресс, 2002. - 416 с.

Занятие 2

Логарифмическое дифференцирование

Иногда, для нахождения производной функцию сначала целесообразно прологарифмировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием. Логарифмическое дифференцирование применяют:

а) в случае, если - есть показательно-степенная функция;

б) в случае, если функция представлена в виде произведения степенных функций с различными показателями.

Показательно-степенная функция.

Функцию вида , , где и основание и показатель изменяются вместе с независимой переменной, называют показательно-степенной (или степенно-показательной). Простейшим примером такой функции является функция , . Дифференцировать показательно-степенную функцию можно следующим образом:

1способ. Для нахождения производной этой функции можно использовать логарифмическое дифференцирование.

Для чего прологарифмируем данную функцию по основанию e:

, и по свойству логарифма степени имеем:

.

Продифференцируем обе части этого равенства, с учетом того, что y – это функция, зависящая от x, получим: .

Умножим обе части этого равенства на y, получим:

.

Пример 1. .

Решение

Прологарифмируем функцию y: .

Найдем производную:

Умножим обе части на y:

2 способ. Производную от показательно-степенной функции можно находить как производную от показательной функции плюс производная от степенной функции (по формуле Г.Лейбница и И.Бернулли).

Пример 2. .

Решение

3 способ. Производную от показательно-степенной функции можно найти, используя свойство логарифма ( ).

Пример 3. .

Решение

Произведение степенных функций с различными показателями

Логарифмическое дифференцирование может быть применено для отыскания производных не только функций показательно-степенного типа. Так, например, для отыскания производной от произведения функций с различными показателями удобно применять логарифмическое дифференцирование, что позволяет быстрее получить результат.

Пример 4. .

Решение

Прологарифмируем функцию: , далее, используя свойства логарифмов, запишем:

.

Найдем производные от обеих частей этого равенства, с учетом того, что - функция, зависящая от :

.

Умножим обе части равенства на :

Задания для самостоятельной работы

Вариант №1 Вариант №2

Найти производные функций: Найти производные функций:

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

6. 6.

Вариант №3 Вариант №4

Найти производные функций: Найти производные функций:

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

6. 6.

Вариант №5 Вариант №6

Найти производные функций: Найти производные функций:

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

6. 6.

Вариант №7 Вариант №8

Найти производные функций: Найти производные функций:

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

6. 6.

Вариант №9 Вариант №10

Найти производные функций: Найти производные функций:

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

6. 6.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Какую операцию называют логарифмическим дифференцированием?

2. Какая функция называется показательно- степенной?

3. Найдите производные от следующих функций:

а)

б)

в)