Решение
Здесь выполняются следующие операции: 1) возведение в квадрат и сложение результата с единицей; 2) извлечение корня; 3) взятие арктангенса; 4) взятие логарифма. Последняя операция - взятие логарифма. Дифференцируем эту операцию.
.
В скобках последняя операция - взятие арктангенса. Ее производная
.
В скобках последняя операция - извлечение корня. Ее производная
.
Наконец,
.
Итак,
.
Обратите внимание, что: 1) на каждом этапе дифференцируется последняя (на этом этапе) операция; 2) все, что стояло под знаком этой операции, сохраняется без изменения (1); 3) сомножителей будет столько, сколько звеньев в цепочке, задающей сложную функцию.
После приобретения некоторого навыка промежуточные записи опускаются.
Пример
11. Найти производную функции
.
Решение
Запишем
эту функцию в виде: 
.
Тогда:
.
Задания для самостоятельного решения
Вариант №1 Вариант №2
Найти производные функций: Найти производные функций:
1.
;
1.
;
2.
;
2.
;
3.
;
3.
;
4.
;
4.
;
5.
;
5.
;
6.
;
6.
;
7.
;
7.
;
8.
;
8.
;
9.
;
9.
;
10.
;
10.
;
Вариант №3 Вариант №4
Найти производные функций: Найти производные функций:
1.
1.
2.
;
2.
;
3.
;
3.
;
4.
;
4.
;
5.
;
5.
;
6.
6.
;
7.
;
7.
;
8.
8.
;
9.
;
9.
;
10.
;
10.
;
Вариант №5 Вариант №6
Найти производные функций: Найти производные функций:
1.
1.
2.
;
2.
3.
;
3.
;
4.
;
4.
;
5.
;
5.
;
6.
;
6.
;
7.
;
7.
;
8.
;
8.
;
9.
;
9.
;
10.
;
10.
;
Вариант №7 Вариант №8
Найти производные функций: Найти производные функций:
1.
1.
2.
;
2.
;
3.
;
3.
;
4.
;
4.
;
5.
;
5.
;
6.
;
6.
;
7.
;
7.
;
8.
;
8.
;
9.
;
9.
;
10.
;
10.
;
Вариант №9 Вариант №10
Найти производные функций: Найти производные функций:
1.
1.
2.
;
2.
3.
;
3.
;
4.
;
4.
;
5.
;
5.
;
6.
;
6.
;
7.
;
7.
;
8.
;
8.
;
9.
;
9.
.
10.
;
10.
;
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Что называется приращением функции?
Дайте определение производной.
Какая функция называется дифференцируемой?
Вычислите производные следующих функций:
а)
б)
5.
Дана функция
.
Вычислите производные в указанных
точках:
а)
,
б)
,
в)
.
6. Сформулируйте правило вычисления производной от суммы (или разности) двух функций. Будет ли это правило справедливо для трех и более функций?
7. Сформулируйте и докажите правило вычисления производной от произведения двух функций.
8. Получите формулу для вычисления производной от произведения трех функций.
9. Сформулируйте правило вычисления производной от частного двух функций.
10.
Используя определение производной,
выведите формулу для вычисления
производной от функции
.
11. Сформулируйте теорему о производной обратной функции.
12. Сформулируйте производную сложной функции.