Производная обратной функции

Теорема о производной обратной функции. Если для функции существует обратная функция , которая в рассматриваемой точке у имеет производную , отличную от нуля, то в соответствующей точке функция имеет производную , равную , т.е. справедлива формула

Производная сложной функции

Теорема о производной сложной функции. Если функция имеет в некоторой точке производную , а функция имеет при соответствующем значении производную , то сложная функция в указанной точке также имеет производную, которая равна

,

т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной .

Цепочка, задающая как сложную функцию , может состоять не только из двух, но и из большего числа звеньев:

Здесь и - промежуточные переменные.

Например, функция сложная, так как зависимость от выражается следующей цепочкой основных элементарных функций:

Поэтому для функций:

где u - функция x, таблица производных принимает вид:

(3)

1) ;	7)
2) ;	8)
3)	9)
4)	10)
5)	11)
6)

Для практической реализации правила дифференцирования сложной функции нужно уметь записать эту функцию в виде цепочки основных элементарных зависимостей. А для этого надо четко представить, какие операции и в каком порядке производятся над независимой переменной в аналитическом выражении, задающем эту функцию, и результат каждой операции обозначить буквой.

Пример 1. Записать зависимость y от x в виде цепочки основных элементарных функций, если

Решение

Здесь выполняются две операции:

1) от x берется косинус, результат этой операции обозначим u:

2) u возводится в куб (обозначим за v):

Запишем эти операции в порядке, обратном порядку выполнения:

Обратите внимание, что последняя ("внешняя") операция здесь - возведение в куб.

Пример 2. Записать зависимость y от x в виде цепочки основных элементарных функций, если

.

Решение

Здесь выполняются следующие операции:

1) x умножается на 3 и произведение складывается с двойкой, результат операции обозначим v:

2) от v берется синус (обозначим за u):

3) из u извлекается квадратный корень: ;

Запишем эти операции в порядке, обратном порядку выполнения:

,

Последняя ("внешняя") операция здесь - извлечение корня.

Пример 3. Записать зависимость y от x в виде цепочки основных элементарных функций, если:

;

Перепишем функцию в виде:

.

Решение

Здесь выполняются следующие операции:

1) находится величина, обратная x:

2) от w берется косинус: ;

3) от v берется логарифм:

4) u возводится в степень с показателем : .

Последняя операция здесь - возведение в степень .

Пример 4. Записать зависимость y от x в виде цепочки основных элементарных функций, если: .