Решение
Найдем
производную:
.
Вычислим значение производной в точке,
получим:
.
Следовательно
.
Ответ:
.
Пример
2. В какой точке касательная к кубической
параболе
образует с осью ОХ угол
?
Решение
Найдем
производную от у:
.
Так как по условию задачи
,
получим:
,
.
Найдем ординаты этих
точек:
,
.
Ответ:
.
Пример
3. Написать уравнение касательной и
нормали к кривой
в точке (1; 3).
Решение
Подставляя значения координат данной
точки в уравнение, убедимся, что точка
(1; 3) лежит на кривой
или 0 = 0.
Дифференцируя
по х, находим
,
откуда
.
Производная в точке (1; 3)
.
Уравнение
касательной:
или
.
Уравнение
нормали:
или
.
Ответ: - уравнение касательной;
- уравнение нормали.
Пример
4. Найти угол между двумя кривыми
и
в точке их пересечения.
Решение
Найдем точку пересечения этих кривых.
Решив систему уравнений
получим
и
.
Таким
образом, точка пересечения кривых
.
Найдем угловые коэффициенты касательных
к кривым при
:
т.е.
т.е.
.
По
формуле тангенса
получим
отсюда
Ответ:
.и
ение касательной: одим данной точки в
уравнение, убедимся, что точка ()ывается
нормалью к кривой.
Физический смысл производной
Пусть значения функции и ее аргумента являются некоторыми физическими величинами, заданными в области D.
Отношение
называется средней
скоростью изменения
переменной
относительно
переменной
на отрезке
,
а предел
- скоростью изменения
переменной
относительно переменной
в
точке
.
Таким образом, физический смысл производной - это скорость изменения функции.
Задача 1. Мгновенная скорость.
Пусть
материальная точка движется прямолинейно
по закону
.
Путь, пройденный точкой за промежуток
времени
,
равен
.
Отношение
дает среднюю скорость движения точки
за время
,
предел этого отношения при
определяет мгновенную скорость движения
в данный момент времени, т.е.
Из
полученной формулы следует, что скорость
не зависит от приращения времени
,
а зависит от значения
и от характера функции
.
Задача 2. Сила тока.
Пусть
-
количество электричества, протекающее
через поперечное сечение проводника в
момент времени
.
равно
количеству электричества, протекающего
через указанное сечение за промежуток
времени от момента
до момента
.
Отношение
называется средней силой тока за
указанный промежуток времени длительностью
.
Предел этого отношения при
называется силой тока в данный момент
времени
.
и ение касательной: одим данной точки в уравнение, убедимся, что точка ()ывается нормалью к кривой.
Пример
5. Точка движется по прямой, согласно
закону
где t-
время в секундах, s-
путь в метрах, найти скорость точки в
момент t=3.
Решение
Скорость
;
следовательно, при t=3
м/сек.
Ответ:
м/сек.
Пример
6. Точка движется прямолинейно по закону
.
Найти скорость и ускорение движения
точки для моментов времени
и
(s дается в сантиметрах, t – в секундах).