Программа, методические указания и контрольные задания по курсу “линейная алгебра, векторная алгебра и аналитическая геометрия”

Программа курса (1 семестр)

Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

1. Матрицы, действия над ними. Нулевая, квадратная, диагональная и единичная матрицы. Определители матриц второго и третьего порядка, их свойства. Определители более высокого порядка.

2. Правило Крамера решения системы линейных уравнений. Неособенные матрицы. Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом.

Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы (без доказательства) и следствия из этих теорем. Теорема Кронекера - Капелли. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

3. Векторные и скалярные величины. Вектор как направленный отрезок. Равенство векторов, понятие свободного вектора. Коллинеарные и компланарные векторы. Линейные операции над векторами, свойства этих операций.

Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Теорема о линейной зависимости векторов. Базис линейного пространства. Разложение вектора по базису.

Различные способы задания вектора в пространстве. Задача о делении вектора в данном отношении.

4. Скалярное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей. Механический смысл скалярного произведения. Длина вектора и угол между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов.

5. Векторное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей. Геометрический и механический смысл векторного произведения.

6. Правые и левые тройки векторов. Смешанное произведение трех векторов, его геометрический смысл, свойства и выражение через координаты сомножителей. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

7. Поверхность. Уравнение поверхности. Уравнение плоскости, проходящей через единую точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости. Соответствие между плоскостями и линейными уравнениями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, и уравнение плоскости в отрезках.

8. Прямая в пространстве трех измерений. Векторное, параметрические и каноническое уравнение прямой. Прямая в пространстве как линия пересечения плоскостей. Общие уравнения прямой. Переход от общих уравнений прямой к каноническим. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности. Пересечение прямой с плоскостью.

9. Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его исследование. Каноническое уравнение прямой. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, через две точки, уравнение прямой в отрезках.

10. Кривые второго порядка. Вывод канонических уравнений, исследование формы по уравнению. Эксцентриситет и директрисы эллипса, гиперболы и параболы. Асимптоты гиперболы.

11. Задача преобразования координат. Параллельный перенос и поворот координатной системы. Упрощение уравнений некоторых кривых при помощи преобразования координат.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Добротин Д.А. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. Изд-во Ленингр. ун-та, 1977

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М. Наука, 1980, 1984, 1988.

3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М. Наука, 1980, 1984.

4. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии, М. Наука, 1969.

Перед практическим занятием по запланированной теме рекомендуется самостоятельное изучение нижеследующего материала.