15. Основні положення статистичної геомеханіки при визначенні стійкості виробок, укосів і бортів кар'єру

15.1 Поняття про механіку суцільного середовища

15.1.1.Співвідношення механіки суцільного середовища

Основу механіки суцільного середовища становлять подання про матеріальні тіла як «про деяку субстанцію, що безупинно заповнює обсяг геометричного простору» і наділеного певними фізичними властивостями, що відбивають статистичні закономірності для реальних фізичних середовищ.

Уведене припущення про сплошности середовища дозволяє наділяти нескінченно малі обсяги тіл властивостями середовища й ефективно використати аналітичний апарат диференціального й інтегрального вирахування. Зокрема, напруги й переміщення окремих крапок середовища, можливо, представляти у вигляді деяких функцій координат і часу, похідних (безперервних і дифференцируемых), які забезпечили б потребуючу точність рішення завдання.

У механіки суцільних середовищ різні дві категорії сил: зовнішні й внутрішні.

Зовнішні сили – поверхневі й об'ємні. Поверхневі, наприклад тиск, прикладений до поверхні тіла й конкретна взаємодія, що характеризує, його з ін. тілами. Об'ємні (масові) прикладені до внутрішніх частин тіла - сили ваги, сили інерції й ін.

Внутрішні сили – це сили зв'язку між окремими частками речовини. Внутрішні сили під впливом зовнішніх змінюються, одержують збільшення, які і є основним предметом вивчення механіки деформації тел.

Зовнішні й внутрішні сили характеризуються інтенсивністю, що називається напругою.

Напруга й деформації елементарного обсягу є функціями координат, тобто трьома складовими напруг ( ; ; ) обумовлених дев'ятьма компонентами.

Деформація (повна e) подібно напрузі може бути також представлена у вигляді трьох взаємно перпендикулярних складових. Одна з них спричиняється лінійні деформації тіла Ɛ (подовження або вкорочення), а дві інші перпендикулярні до неї й відповідають сдвиговим деформаціям γ.

Тобто деформування будь-якого обсягу можна охарактеризувати деформаціями трьох взаємно перпендикулярних відрізків. Тому деформований стан якого-небудь обсягу могло бути однозначно визначено дев'ятьма компонентами.

Дев'ять компонентів напруг і деформацій становлять тензори напруг і деформацій у даній крапці.

; (1)

Якщо скласти рівняння моментів всіх сил щодо кожної з осей Ох, О_y, O_z виділеного деформуючого обсягу й прирівняти їх до нуля, то легко можна вивести:

; ; ;

; ; (2)

Тому число необхідних величин для певного напружено-деформаційного стану в крапці скорочується до шести.

Умова рівноваги будь-якої внутрішньої крапки деформованого тіла можна записати у вигляді:

(3)

де – проекції масових сил на осі Ох, О_y, O_z.

Для крапок поверхні розглянутого тіла керування рівноваги має вигляд:

(4)

де – проекції зовнішніх сил на нормаль до поверхні деформованого тіла;

– напрямного косинуса нормалі.

Останнє рівняння характеризує зв'язок між зовнішніми силами, що діють на поверхні тіла, і компонентами напруг, що діють усередині тіла в поверхні.

Однак, щоб сплошность середовища й після деформування не змінювалася, співвідношення компонентів деформацій повинне задовольняти умовам нерозривності деформацій.

Пружна модель ґрунтується на прямій пропорційно між напругою й деформаціями (Законі Гука). Зв'язок компонентів напруги й компонентів деформацій має вигляд:

(5)

де – модуль пружності;

– модуль зрушення;

– коефіцієнт Пуассона або поперечної деформації.

Плоский напружений стан (характерно для тонких шарів, навантажених по контурі силами, паралельними їхньої площини).

;

Тензор напруг має вигляд:

Тензор деформацій містить компоненту лінійної деформації , вона визначається рівнянням (відповідно до вираження (5)):

Наприклад, якщо по контурі вертикального стовбура в масиві порід виділити тонкий шар перпендикулярний до осі стовбура, то він буде перебувати в гравітаційному полі сил і напружений стан порід у цьому шарі можна думати плоским.

Умова плоскої деформації (виникає у випадку, коли переміщення крапок деформованого об'єкта відбуваються тільки в одній площині).

Тензор деформацій може бути записаний:

Т. к.

те

тоді для умов плоскої деформації тензор напруг визначиться вираженням

У гравітаційному полі сил в умови плоскої деформації перебувають породи навколо перетину горизонтального гірського виробки.

При наявності пружної-пластичної моделі до загальних 9 рівнянням необхідно додати шість фізичних рівнянь

де

.

Залежність м. і виражається рівнянням

Вид функції встановлюється по випробуваннях порід при одноосьовому стисненні-розтяганні.