2.1.6. Средняя длина свободного пути.
Направленный молекулярный поток, содержащий в начальный момент N0 молекул газа с хаотично движущимися молекулами с частотой К за время dt, уменьшается на величину:
,
интегрируя, получаем
.
,
(5.15)
Средняя
длина свободного пути молекул газа
,
определяемая как отношение скорости
молекул к числу столкновений в единицу
времени. l
= V.t
– длина пути молекулы за время t,
столкновение произойдет в том случае,
если расстояние между центрами молекул
будет не более диаметра молекулы dM.
Будем считать, что одна молекула имеет
радиус dM,
а все остальные – математические точки
с нулевым радиусом. При движении со
скоростью v
с молекулярной концентрацией n,
за одну секунду такая воображаемая
молекула опишет объем
и испытает
столкновений. Средняя длина свободного
пути в таком случае будет равна:
, (5.16)
С учетом относительных скоростей движения молекулы газа, которые не учитывались при выводе уравнения (5.16), для длины свободного пути можно получить более точное выражение:
,
(5.17)
Из (5.17) видно, что при постоянной молекулярной концентрации длина свободного пути не должна зависеть от температуры.
Однако из опытных данных следует, что при n = const средняя длина свободного пути увеличивается. Данный фактор учитывается введением дополнительного модуля, тогда:
, (5.18)
где C – постоянная Сезерленда, равная температуре, при которой, в случае постоянной молекулярной концентрации газа, средняя длина свободного пути молекул уменьшается вдвое по сравнению со значением соответствующей бесконечно большой температуры [K].
Для учета взаимодействия молекул между собой вводят понятие эффективного диаметра молекулы dТ, который уменьшается с увеличением температуры:
,
(5.19)
Уравнение (5.18) с учетом (5.19) можно записать в виде:
Используя уравнение состояния (5.4), (5.19) можно записать в виде:
,
(5.20)
Для воздуха, при Т = 293 К, и Р = 1 Па из (5.20), L1= 6,7·10-3 МПа.
L1 – средняя длина свободного пути при Р = 1 Па.
При любом другом давлении:
, (5.21)
При расчетах длины свободного пути при различных температурах и постоянном давлении из (5.21) можно получить:
, (5.22)
Таблица 5.2. Средняя длина свободного пути молекулы при давлении 1 Па.
Газ |
L1·103 при T, К |
|||
600 |
293 |
77 |
4,2 |
|
N2 |
20,8 |
8,67 |
1,26 |
0,0061 |
O2 |
16,9 |
7,02 |
1,00 |
0,0047 |
CO2 |
16,7 |
4,32 |
0,492 |
0,0019 |
Ne |
30,7 |
13,9 |
2,50 |
0,0165 |
H2 |
28,2 |
12,2 |
0,197 |
0,0108 |
H2O |
13,9 |
4,38 |
0,391 |
0,0013 |
Воздух |
16,0 |
6,72 |
0,995 |
0,0048 |
He |
43,6 |
19,1 |
3,13 |
0,0174 |
Формула Больцмана для определения давления воздуха на различной высоте z:
, (5.23)