2.2. Абсолютно черное тело (ачт) и законы излучения.

Особую роль в теории теплового излучения играет представление о так называемом абсолютно черном теле как об объекте, который при любой температуре полностью поглощает все падающее на него электромагнитное излучение любой длины волны. Для АЧТ монохроматический коэффициент поглощения равен единице (α^*_λT = 1). Тела, для которых поглощательная способность меньше единицы, но одинакова для всех длин волн и зависит только от температуры, называются серыми телами. Таким образом, для серого тела α_λT = const < 1.

Моделью абсолютно черного тела может служить узкое отверстие в изометрической полости. Излучение, попадающее в полость через это отверстие, отражается от внутренних стенок таким образом, что это отверстие будет практически полностью поглощать все падающие на него лучи и являться абсолютно черным телом. С другой стороны, это отверстие может излучать.

Если мы нагреем стенки полости до некоторой температуры Т, то они начнут испускать электромагнитное излучение. Это излучение будет распространяться внутри полости, частично отражаясь от стенок, частично поглощаясь ими. В результате внутри полости установится равновесие между испускаемым и поглощенным излучением, и она заполнится электромагнитными волнами разной длины. Выходя через малое отверстие, это излучение по спектральному составу будет весьма близким к излучению абсолютно черного тела при той же температуре Т.

Идеальной моделью абсолютно черного тела может служить полость с небольшим отверстием (рис.2.1). Излучение, попадающее внутрь полости, претерпевает многократные отражения от стенок. Таким образом, это отверстие будет практически полностью поглощать все падающие на него лучи и являться абсолютно черным телом. Испускательная способность абсолютно черного тела обозначается , а его энергетическая светимость .

Рис. 2.1. Модель абсолютно черного тела.

Рис.2.2 показывает спектр излучения АЧТ при температурах Т₁ > T₂ > T₃.

Рис. 2.2. Распределение энергии в спектре АЧТ.

Видно, что излучение абсолютно черного тела имеет сплошной (непрерывный) характер. Энергетическая светимость (площадь, охватываемая кривой) резко возрастает с увеличением температуры, а максимум испускательной способности сдвигается в сторону более коротких длин волн. Анализ экспериментальных данных и теоретические расчеты, выполненные на основе классических представлений термо- и электродинамики, позволяют получить законы излучения абсолютно черного тела.

Закон Кирхгофа.

Испускательная и поглощательная способности любого тела взаимосвязаны:

(2.5)

где индексы: 1, 2, ... , n – относятся к разным телам.

Данное соотношение, установленное впервые Кирхгофом на основе термодинамических расчетов, получило название закона Кирхгофа. В соответствии с (2.5) отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от материала тела и является универсальной функцией длины волны (частоты) и температуры. Для абсолютно черного тела:

(2.6)

Следовательно, универсальная функция Кирхгофа φ(λ,Τ) есть не что иное, как испускательная способность абсолютно черного тела.

Закон Стефана – Больцмана.

Энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры.

(2.7)

Величина σ называется постоянной Стефана – Больцмана, ее экспериментальное значение σ = 5,67·^. 10^-8 Вт / м²К⁴.

С учетом (2.7) энергия, испускаемая за время t абсолютно черным телом с излучающей поверхности S при постоянной температуре Т, определяется выражением:

(2.8)

Если абсолютно черное тело окружено средой с температурой Т₀, то оно будет не только излучать, но и поглощать энергию, излучаемую самой средой. В этом случае мощность, теряемая вследствие излучения c единицы площади, выражается формулой:

(2.9)

К реальным телам закон Стефана – Больцмана не применим, так как наблюдения дают более сложную зависимость R(T). Для серого тела:

(2.10)

где α – коэффициент теплового излучения серого тела.

Первый закон Вина.

Длина волны λ_max в спектре излучения абсолютно черного тела, соответствующая максимальному значению испускательной способности , обратно пропорциональна абсолютной температуре тела:

(2.11)

где b = 2,9∙10^-3 м∙K – постоянная Вина.

Таким образом, при повышении температуры растет не только полное излучение, но и изменяется распределение энергии по спектру. При малых температурах тела излучают главным образом инфракрасные лучи, а по мере повышения температуры излучение делается красноватым, оранжевым и, наконец, белым.

Второй закон Вина.

Максимальная испускательная способность абсолютно черного тела возрастает пропорционально пятой степени абсолютной температуры:

(2.12)

где с = 1,29∙10^-5 Втм^-3К^-5 – постоянная величина.

Законы Стефана – Больцмана и Вина не давали общего решения задачи об излучении абсолютно черного тела. Попытка получить теоретически вид функции φ(λ,Τ) была предпринята Рэлеем и Джинсом, которые к изучению спектральных закономерностей подошли с позиции электродинамики и статистической физики. Ими была получена формула для φ(λ,Τ):

(2.13)

где k – постоянная Больцмана.

Рис. 2.3. Сопоставление экспериментальных кривых φ(λ,Τ).

На рис.2.3 сопоставлены экспериментальные значения с кривой, соответствующей формуле Рэлея – Джинса. Хорошо видно, что формула Рэлея – Джинса верна для длинных волн и совершенно не применима для коротких.

Таким образом, классическая физика оказалась неспособной объяснить законы распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела. Поскольку теоретические расчеты резко расходились с экспериментом в области фиолетовых и ультрафиолетовых лучей, то создавшееся положение получило название «ультрафиолетовой катастрофы».

Для определения вида функции φ(λ,Τ) понадобились совершенно новые идеи о механизме излучения. М. Планк пришел к выводу о неприменимости законов классической физики к атомным осцилляторам. В 1900 году им была высказана гипотеза о том, что испускание энергии электромагнитного излучения атомами и молекулами возможно только отдельными порциями, которые получили название квантов энергии. Величина кванта пропорциональна частоте излучения.

(2.14)

где h = 6,625 10^-34 Дж с,

ħ = h /2π – постоянная Планка.

На основании этого предположения Планком была получена формула для φ(λ,Τ):

(2.15)

Эта формула точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале длин волн (рис. 2.3). Из формулы Планка получаются законы Стефана – Больцмана и Вина.

Таким образом, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения АЧТ. Она прекрасно согласуется с экспериментом и позволяет не только получить законы теплового излучения, но и определить постоянные, входящие в эти законы.