Решение симплекс-методом с искусственным базисом
2. Разработка математической модели
Сформулируем разработанную математическую модель ЗЛП примера № 3, при ее решении модифицированным симплекс-методом. Для этого введем четыре вспомогательных переменных х7, х8, х9, х80. Тогда ЗЛП будет сформулирована следующим образом:
Найти неотрицательные значения неизвестных переменных хj обращающих ЦФ в минимум:
,
при
удовлетворяющих системе ограничений:
линейных уравнений, задающих условия решения задачи (условно обозначив их как)
и ограничений на переменные
,
при
3. Расчеты
Начальное
решение найдем методом «Искусственного
базиса», для этого приравняем все
неизвестные переменные
,
кроме вспомогательных переменных, к
нулю:
,
при
Далее решение ЗЛП будем вести симплекс-таблицей (см. табл. 2). Проверим начальное решение на оптимальность:
Т.к.
симплекс-разность
1,
2,
3
положительны,
то начальное решение не является
оптимальным. Перейдем к улучшенному
решению. Для более быстрого решения
задачи целесообразно включить в новый
базис величину, соответствующую
максимальному положительному значению
hj.
В нашем случае
,
что соответствует второй неизвестной
переменной, а это значит что данная
переменная является направляющим
столбцом.
Для определения вектора, который необходимо вывести из базиса рассчитаем Q:
,
,
,
Т.к. Q7 является минимальным, то х7 является направляющей строкой, которая будет выведена из базиса. Таким образом, элемент а72 является разрешающим элементом. Заменяя переменные в базисе и, пересчитывая симплекс-таблицу, добиваемся того, что бы очередное решение не содержало вспомогательных неизвестных и все симплекс-разности были меньше нуля j 0.
Таблица №2 – Симплекс-таблица
Номер решения |
Базис |
сi |
сj |
bj |
Q |
|||||||||
-5 |
-6 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
М |
М |
М |
М |
|||||
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
х8 |
х9 |
х10 |
|||||
0 |
х7 |
M |
5 |
|
5 |
-5 |
-2 |
-3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
х8 |
M |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
24 |
|
|
х9 |
M |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
24 |
24 |
|
х10 |
M |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
24 |
|
|
gj |
5 |
6 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
y*= 72М |
|||
hj |
6 |
7 |
6 |
-4 |
-1 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||
1 |
х2 |
-6 |
|
1 |
|
|
|
|
- |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
х8 |
М |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
- |
1 |
0 |
0 |
24 |
24 |
|
х9 |
M |
|
0 |
|
|
|
|
- |
0 |
1 |
0 |
24 |
24 |
|
х10 |
M |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
- |
0 |
0 |
1 |
24 |
24 |
|
gj |
0 |
0 |
0 |
5 |
2 |
3 |
- |
0 |
0 |
0 |
y*= 72М |
|||
hj |
|
0 |
|
|
|
|
- |
0 |
0 |
0 |
||||
5 |
х2 |
-6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
- |
- |
- |
- |
24 |
|
х4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
- |
- |
- |
- |
24 |
|
|
х6 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
- |
- |
- |
- |
18 |
|
|
х3 |
-5 |
|
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
- |
- |
- |
- |
6 |
|
|
j |
|
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
- |
- |
- |
- |
y*= -174 |
|||
