3. Расчеты Решение графическим методом

Ввиду того, что неизвестное число переменных не превосходит число линейных уравнений-ограничений системы на два (6 – 4 = 2), то данная простейшая ЗЛП может быть решена графическим способом.

3.1 Построение области допустимых решений

Т.к. ЗЛП уже представлена в стандартной форме, то сразу перейдем к определению координатных переменных.

Неизвестные переменные х₁ и х₂ линейно-независимы, т.к. определитель, составленный из коэффициентов при них, отличен от нуля

поэтому их можно использовать в качестве координатных переменных.

Выразим все неизвестные переменные и целевую функцию через координатные переменные, условно обозначив уравнения ограничения:

Из условия не отрицательности всех неизвестных находим следующие выражения, соответствующие линейным ограничениям:

Эти выражения позволяют все ограничения выразить через координатные переменные, условно обозначив их как:

(1)

(2)

(3)

(4)

Приравняв левые и правые части неравенств и нанеся прямые на график, определим область допустимых решений (см. рис. 8.1.6).

Рис. 8.1.6 – Определение ОДР

3.2 Нахождение оптимального решения

Для определения направления возрастания ЦФ построим вектор-градиент с координатами (-1.25,1). Далее построим начальную прямую и перемещая по направлению вектора-градиента определим оптимальную граничную экстремальную точку ОДР (см. рис. 8.1.7).

Рис. 8.1.7 – Нахождение оптимального решения

Определив координаты оптимальной точки (0, 24), подставив их в уравнение ЦФ и уравнения ЛО, получим, что: у = 174, , , ,

Решение симплекс-методом с естественным базисом

2. Разработка математической модели

Сформулируем разработанную математическую модель ЗЛП примера № 3 в канонической форме: Найти неотрицательные значения неизвестных переменных х_j обращающих ЦФ в минимум:

, при

удовлетворяющих системе ограничений:

линейных уравнений, задающих условия решения задачи (условно обозначив их как)

и ограничений на переменные

, при

3. Расчеты

Начальное решение найдем методом «Полного исключения». Т.к. система линейных ограничений (СЛО) в ЗЛП имеет шесть неизвестных и четыре линейных уравнения, то задачу решим относительно переменных х₂, х₃, х₄, х₅. Определитель, составленный из коэффициентов при них отличен от нуля,

т.е. эти переменные линейно-независимые, а значит, могут быть использованы в качестве базисных переменных.

Преобразования целесообразно производить, когда СЛО представлена в матричном виде:

Для удобства преобразований поменяем строки местами (вместо второй - третью, вместо третьей – четвертую, а вместо четвертой – вторую) и тогда расширенная матрица примет вид:

На первом шаге исключим х₂, х₃, х₄ из первого уравнения, для этого умножим вторую строку матрицы на 6 и вычтем из первой, третью строку умножим на 5 и вычтем из первой, а затем третью строку умножим на 5 и сложим с первой и далее в результате получим:

На втором шаге исключим х₅ из второго уравнения, для этого разделим первую строку вновь полученной матрицы после первого шага на -8, а затем из второй строки вычтем первую и далее в результате получим:

Для удобства поменяем строки местами (первую запишем четвертой) и тогда расширенная матрица примет вид:

В последней матрице СЛО разрешена относительно базисных переменных, т.к. в столбцах соответствующим базисным переменным сформирована единая матрица.

Система принимает следующий вид:

Приравняв все свободные переменные к нулю, получаем первоначальный решение:

Далее решение ЗЛП будем вести симплекс-таблицей (см. табл. 1). Проверим начальное решение на оптимальность

Т.к. симплекс-разность ₆ положительна, то начальное решение не является оптимальным. Перейдем к улучшенному решению. ₆ = 1 является положительной наибольшей величиной, то данный вектор будет включен в базис и х₆ является направляющим столбцом.

Для определения вектора, который необходимо вывести из базиса рассчитаем Q:

Т.к. Q₅ является минимально-положительной величиной, то х₅ является направляющей строкой, которая будет выведена из базиса. Таким образом, элемент а₅₆ является разрешающим элементом.

Заменим переменные в базисе и пересчитаем симплекс таблицу:

• для

• для

Проверим первое решение на оптимальность

Т.к. все симплекс-разности _j  0, то первое решение является оптимальным.

Таблица №1 –Симплекс-таблица

Номер решения	Базис	сi	сj						bj	Q
			-5	-6	-5	0	0	0
			х1	х2	х3	х4	х5	х6
0	х2	-6	1.25	1	0	0	0	-1	6	-
	х3	-5	0	0	1	0	0	1	24	24
	х4	0	1	0	0	1	0	0	24	
	х5	0	-1.25	0	0	0	1		18	18
	j		-2.5	0	0	0	0	1	y*= -156
1	х2	-6	0	1	0	0	1	0	24
	х3	-5	1.25	0	1	0	- 1	0	6
	х4	0	1	0	0	1	0	0	24
	х6	0	-1.25	0	0	0	1	1	18
	j		-1.25	0	0	0	-1	0	y*= -174

Из симплекс-таблицы находим неизвестные переменные х₁ = 0, х₂ = 24, х₃ = 6, х₄ = 24, х₅ = 0, х₆ = 18, при которых решение является эффективным. Зная неизвестные переменные можно теперь вычислить значение ЦФ:

,

тогда