5.2.3 Інтерполювання за Ермітом

У більш загальному випадку потрібно, щоб у вузлах інтерполяції збігалися не лише значення інтерполюючої функції і функції, яку необхідно інтерполювати, але й значення їхніх похідних до деякого порядку. У цьому випадку застосовують інтерполювання за Ермітом.

Інтерполяційним поліномом Ерміта -го порядку називають поліном аргумента , який визначається з умов

; ;

; ;. ;

. . . . . . . . . . . (5.17)

; ;. ;

. . . . . . . . . . .

; ; .

Тут, як і раніше, - кількість вузлів інтерполяції.

Якщо у вузлі поліном і функція, яка інтерполюється, збігаються до похідної порядку , то число називається кратністю вузла . При цьому .

Інтерполяційний поліном Ньютона (5.12) узагальнюється на випадок кратних вузлів таким чином:

(5.18)

Інтерполювання за Ермітом зводиться до визначення коефіцієнтів , , ..., з умов (5.17).

5.2.4 Похибка інтерполяції та способи її зменшення

Зафіксуємо точку x та визначимо похибку інтерполяції r_n(x)=f(x)-P_n(x). Нехай та введемо функцію g(s)=f(s)-P_n(s)-kw(s), де w(s)=(s-x₀)(s-x₁)…(s-x_n). При s=x_i, i=0,1,…,n, w(x_i)=0. Тому g(x_i)=0, бо f(x_i)=P_n(x_i). Виберемо деяку точку xx_i, i = 0,1,…,n та виберемо коефіцієнт k так, щоб g(x)=0. Тоді f(x)-P_n(x)-kw(x)=0; k=(f(x)-P_n(x))/w(x).

Враховуючи, що w⁽ⁿ⁺¹⁾(s) = (n+1)! та те, що g(s) має n+2 нулі на [a;b], то g'(s) має n+1 нуль, g''(s) має n нулів, …, g⁽ⁿ⁺¹⁾(s) має принаймні один нуль. Нехай це буде при s=. Тоді

.

Звідси отримуємо оцінку для похибки інтерполювання

.

Тоді оцінка для абсолютної похибки поліноміальної інтерполяційної формули має вигляд

. (5.19)

Як бачимо з (5.19), похибка заміни функції інтерполяційним многочленом залежить від вибору вузлів інтерполяції . Перш ніж перейти до питання про раціональний вибір вузлів інтерполяції, розглянемо деякі властивості одного з найважливіших і добре вивчених зараз класів спеціальних функцій – многочленів Чебишева першого роду, що часто використовуються для наближення функцій. Многочлен Чебишева го степеня визначається за формулою

(5.20)

Для визначення многочленів Чебишева часто користуються тригонометричною формою запису

, (5.21)

що приводить до таких самих виразів для , як і в (5.20).

Із тотожності

при маємо рекурентну формулу

.

Многочлен має коренів, які можна отримати, розв’язавши рівняння , або ;

(5.22)

Як бачимо з (5.22), всі коренів, що відповідають значенням знаходяться на відрізку [-1,1], причому ці точки не рівновіддалені, а згущуються ближче до кінця даного відрізка. З формули (5.21) також очевидно, що на відрізку [-1,1]

(5.23)

Доведено, що серед усіх можливих значень на відрізку корені многочлена мають ту чудову властивість, що для них величина

(5.24)

має найменше за модулем максимальне значення.

Беручи до уваги (5.24), запишемо

. (5.25)

Виходячи з властивостей коренів многочленів Чебишева першого роду і визначення інтерполяційного многочлена -го степеня на відрізку можна стверджувати, що якщо за вузлів інтерполювання взяти корені многочлена то максимальне значення похибки на цьому відрізку буде найменшим для всіх можливих варіантів вибору вузлів інтерполювання. Інтерполяційний многочлен, наділений такою властивістю, називається многочленом найкращого наближення. Оцінка (5.19) при цьому набирає вигляду

, де .

Якщо інтерполювання проводиться на довільному відрізку , то заміною змінної

цей відрізок можна звести до відрізка При цьому корені многочлена будуть знаходитися в точках

Оцінка похибки має вигляд

.