2 Квадратична інтерполяція
У цьому випадку є три вузли
інтерполяції (
).
Інтерполяційний поліном Лагранжа
набирає вигляду:
(5.7)
5.2.2. Інтерполювання за Ньютоном
Недоліком інтерполювання за Лагранжем є те, що якщо для поліпшення наближення додати ще один вузол інтерполювання, доведеться всі обчислення проводити заново.
На практиці часто трапляються випадки, коли вузли інтерполяції стають відомими не одразу, а поступово, один за одним, наприклад, у процесі вимірювання. Тоді зручно побудувати процес інтерполювання у такий спосіб, щоб поява даних про новий вузол інтерполювання, призводила б до необхідності мінімального перерахунку попередніх обчислень. Саме таку властивість має інтерполювання за Ньютоном.
Нехай вузли інтерполяції рівновіддалені один від одного за аргументом, тобто виконується умова
; (
). (5.8)
Різниці
(5.9)
називають скінченними різницями першого порядку. Різниці сусідніх скінченних різниць першого порядку
(5.10)
називають скінченними різницями другого порядку. Аналогічно
(5.11)
є скінченними різницями
-го
порядку. Вони
визначаються за формулою
де
-біноміальні
коефіцієнти.
Розглянемо поліном
.
(5.12)
Визначимо його коефіцієнти.
Коефіцієнт
визначимо з умови проходження полінома
через першу точку (
)
. (5.13)
З умови проходження полінома
через точку (
)
одержимо значення
;
.
(5.14)
Аналогічно визначається решта коефіцієнтів
. (5.15)
Підставляючи отримані вирази у (5.12), одержуємо
. (5.16)
Це є перша інтерполяційна формула Ньютона (формула інтерполювання вперед).
Як бачимо, особливостями інтерполювання за Ньютоном є:
при появі нового вузла додається лише новий член, решта не перераховується;
коефіцієнти швидко зменшуються зі зростанням , бо у знаменнику міститься факторіал від .
Іноді використовується формула для інтерполювання назад
.
Візьмемо деяку функцію f(x)
R
і систему вузлів інтерполяції
,
,
при і
j.
Вузли інтерполяції не є рівновіддаленими.
Для цієї функції і вузлів утворимо
відношення
.
Вони
називаються розділеними
різницями першого порядку.
Одержавши
їх, ми можемо утворити
нові відношення
…,
Вони називаються розділеними
різницями другого порядку.
Взагалі, якщо ми уже визначили розділені
різниці k-го
порядку
,то
розділені
різниці (k+1)-го порядку
знаходяться
за допомогою формули
.
Іноді замість
для позначення розділених різниць
використовують позначення
.
Домовимося розміщувати таблиці розділених різниць у такий спосіб:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При
скінченні і розділені різниці пов'язані
співвідношенням у вигляді
Розділені різниці порядку n від многочлена n-го степеня постійні, а різниці більш високого порядку дорівнюють нулю. Останнім зауваженням можна скористатися для виявлення помилок у таблицях многочленів чи функцій, близьких до них.
За допомогою розділених різниць можна побудувати інтерполяційний многочлен Ньютона
Варто зазначити, що при збільшенні кількості вузлів процес обчислення скінченних та поділених різниць стає все більш обчислювально нестійким - похибка визначення скінченних різниць великого порядку різко зростає зі збільшенням порядку скінченної різниці. Тому метод Ньютона може бути застосований лише для невеликої кількості вузлів.